Вычисление площади плоской фигуры 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Вычисление площади плоской фигуры



Площадь S плоской области D в прямоугольных координатах вычисля­ется по формуле


 


S=\$dxdy,

D

А в полярных координатах—по формуле

S=\\rdrdq>.

D


 


32. Вычислить площадь области, ограниченной линиями у=х2 и у=х+6.

О Найдем точки пересечения данных линий (рис. 213):=х2,

9 Область D запишем в виде системы неравенств

\у=х+6, М(3; 9), N(-2; 4). Р

—2ис^3, х2^у^х+6. Согласно формуле (29.13), получим

х+6 3 3

5= j* dx J dy= J* \yYj6<lx= J (x+6-x2)dx=

=+6х“т].2=20^(кв ед)- •

33. Вычислить площадь области Д заданной неравенствами я/4<ср<я/3, 2<г<4 (рис. 214).

О Используя формулу (29.14), находим

Я/3 4

tfrdrd(f>= |*</<р|г</г=

Я/4 2

Я/3 я/3

| [г2]5<*Р=6 |<*Р=6[<р]^4=^(кв. ед.;

Я/4 я/4

34. Вычислить в полярных коорди­натах площадь области D, ограничен­ной окружностью х2-\-у2—4х=0 и пря­мыми ^ = 0, у=х.

О Найдем точки пересечения окружности и прямой:

2

(/=■*>


Для построения окружности преобразуем ее уравнение: х2 —4x4- 4- 4+у2=4, (х—2)22=4, откуда следует, что центр окружности есть точка Ох (2; 0), a Я = 2.

Для вычисления искомой площади в полярных координатах находим г и ф. Учитывая, что х=г совф и у=г втф, запишем данное уравнение х2 4- у2—4х=0 в полярных координатах: г2cos2ф4-г2sin2ф—4rcosф=0. Упро­стив его, получим г2 (cos2<p + sin2(p)—4rcos(p=0, г2—4гсовф = 0, rt=0, г2 = =4со8ф. Теперь находим угол ф: tg ф =_у/л:= 2/2 = 1, ф = я/4. Следовательно, область D определяется системой неравенств 0<ф<я/4, 0<г<4со8ф. Согласно формуле (29.14), находим


                       
   
 
   
D
 
ООО О я/4
 
 
я/4 о
   
 
     
о
 
 

 

35. Вычислите площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, если область D ограничена линиями:

1) у=%/х, у=-х+ 9; 2)у=4/х, у=х, у= 4;

jv=sin л:, j=cosjc, х=0; 4).y=cosx, х=0, 1;

5) у2 = 4х, у=х; 6) у=х2, у = —х2 + 2, л: = 0.

36. Вычислите в полярных координатах площади областей, ограниченных заданными линиями: 1) г=4, ф = л/6, ф = 7с/3; 2) r= 1, г=2, ф = я/6, ф = 7t/4.

37. Вычислите площадь области Д заданной в полярных координатах системой неравенств 0<ф<я/2, О^г^Зсовф.

38. Вычислите площадь фигуры, ограниченной окружностями r= 1 и г=2совф (вне окружности r= 1).

§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x9 у), снизу плоскостью z—0 и сбоку прямой цилиндрической поверх-


ностью, вырезающей на плоскости xOy(z=0) область D (рис. 216), вычисляется по формуле

V=\\zdxdy. (29.15)

39. Выделить объем тела, ограниченного поверхностями z=2x+l, х=0, у=4, у=х2.

О Тело, ограниченное задан­ными поверхностями, представляет собой вертикальный параболичес­кий цилиндр, расположенный в I

октанте. Сверху тело ограничено плоскостью z=2x+l, сбоку параболичес­ким цилиндром у=х2 и плоскостями х=0 и у=4, снизу параболой у=х2 и прямыми рс=0 и у=4. Найдем точки пересечения параболы у=х2 и прямой у=4: ^

, Значение х=—2 не рассматриваем, так как цилиндр

{/=4, М(2; 4).

расположен в I октанте. Область D запишем в виде системы неравенств 0<х<2, х2^у^4.

Согласно формуле (29.15), получим

4 2

V= Jdx j*(2x+ l)dy=j[2xy+y]42dx=

d о x2 0

=j*(8x+4—2x3—x2)dx=13^(Ky6. ед.) • о

40. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 3—x—y, х22= 1 и z=0.

О Данное тело есть прямой круговой цилиндр, ограниченный сверху плоскостью z—3—х—у, а снизу—кругом jc2 = 1 в плоскости z=0. Область D в основании цилиндра запишем в виде системы неравенств

-l^x^l, -у/\-х2^у^у/\-х2.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 706; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.90.40.84 (0.061 с.)