Вычисление площади плоской фигуры

Площадь S плоской области D в прямоугольных координатах вычисля­ется по формуле

 

S=\$dxdy,

D

А в полярных координатах—по формуле

S=\\rdrdq>.

D

 

32. Вычислить площадь области, ограниченной линиями у=х² и у=х+6.

О Найдем точки пересечения данных линий (рис. 213): \у ⁼х²,

⁹ Область D запишем в виде системы неравенств

\у=х+6, М(3; 9), N(-2; 4). ^Р

—2ис^3, х²^у^х+6. Согласно формуле (29.13), получим

х+6 3 3

5= j* dx J dy= J* \yYj^6<lx= J (x+6-x²)dx=

⁼[у^+6х“т].₂⁼²⁰^^{(кв ед)}- •

33. Вычислить площадь области Д заданной неравенствами я/4<ср<я/3, 2<г<4 (рис. 214).

О Используя формулу (29.14), находим

Я/3 4

tfrdrd(f>= |*</<р|г</г=

Я/4 2

Я/3 я/3

| [^г2]5^<*Р=⁶ |<*Р=6[<р]^4=^(кв. ед.;

Я/4 я/4

34. Вычислить в полярных коорди­натах площадь области D, ограничен­ной окружностью х²-\-у²—4х=0 и пря­мыми ^ = 0, у=х.

О Найдем точки пересечения окружности и прямой:

(х²+у

(/=■*>

Для построения окружности преобразуем ее уравнение: х² —4x4- 4- 4+у²=4, (х—2)²+у²=4, откуда следует, что центр окружности есть точка О_х (2; 0), a Я = 2.

Для вычисления искомой площади в полярных координатах находим г и ф. Учитывая, что х=г совф и у=г втф, запишем данное уравнение х² 4- у²—4х=0 в полярных координатах: г²cos²ф4-г²sin²ф—4rcosф=0. Упро­стив его, получим г² (cos²<p + sin²(p)—4rcos(p=0, г²—4гсовф = 0, r_t=0, г₂ = =4со8ф. Теперь находим угол ф: tg ф =_у/л:= 2/2 = 1, ф = я/4. Следовательно, область D определяется системой неравенств 0<ф<я/4, 0<г<4со8ф. Согласно формуле (29.14), находим

		D		ООО О я/4
	я/4 о
			о

 

35. Вычислите площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, если область D ограничена линиями:

1) у=%/х, у=-х+ 9; 2)у=4/х, у=х, у= 4;

jv=sin л:, j=cosjc, х=0; 4).y=cosx, х=0, 1;

5) у² = 4х, у=х; 6) у=х², у = —х² + 2, л: = 0.

36. Вычислите в полярных координатах площади областей, ограниченных заданными линиями: 1) г=4, ф = л/6, ф = 7с/3; 2) r= 1, г=2, ф = я/6, ф = 7t/4.

37. Вычислите площадь области Д заданной в полярных координатах системой неравенств 0<ф<я/2, О^г^Зсовф.

38. Вычислите площадь фигуры, ограниченной окружностями r= 1 и г=2совф (вне окружности r= 1).

§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x₉ у), снизу плоскостью z—0 и сбоку прямой цилиндрической поверх-

ностью, вырезающей на плоскости xOy(z=0) область D (рис. 216), вычисляется по формуле

V=\\zdxdy. (29.15)

39. Выделить объем тела, ограниченного поверхностями z=2x+l, х=0, у=4, у=х².

О Тело, ограниченное задан­ными поверхностями, представляет собой вертикальный параболичес­кий цилиндр, расположенный в I

октанте. Сверху тело ограничено плоскостью z=2x+l, сбоку параболичес­ким цилиндром у=х² и плоскостями х=0 и у=4, снизу параболой у=х² и прямыми рс=0 и у=4. Найдем точки пересечения параболы у=х² и прямой у=4: ^

, Значение х=—2 не рассматриваем, так как цилиндр

{/=4, М(2; 4).

расположен в I октанте. Область D запишем в виде системы неравенств 0<х<2, х²^у^4.

Согласно формуле (29.15), получим

4 2

V= Jdx j*(2x+ l)dy=j[2xy+y]⁴₂dx=

d о x^{2 0}

=j*(8x+4—2x³—x²)dx=13^(Ky6. ед.) • о

40. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 3—x—y, х²+у²= 1 и z=0.

О Данное тело есть прямой круговой цилиндр, ограниченный сверху плоскостью z—3—х—у, а снизу—кругом jc² = 1 в плоскости z=0. Область D в основании цилиндра запишем в виде системы неравенств

-l^x^l, -у/\-х²^у^у/\-х².