О Найдем точки пересечения парабол. Имеем

Из рис. 197 видно, что область D можно записать с помощью системы неравенств 0<х<1, 2х²^у^2у/х. ф

7. Найдите область определения функции:

1) z= Jx²+y²-4+ ^16 -х²-у²; 2) z=J^+~ 1;

3) z = - -¹ -.

^/x²+y ²-4

8. Найдите частное значение функции:

О f(x, У)=_2х1^Х+_у2 в точке (2; -1);

2) f(x, у)= ^2Х^^У в точке (3; -4).

s/x²+y²

9. Запишите с помощью систем неравенств вида (29.1) замкнутые области Z), заданные следующим образом?

1) у = х, у = х+6, у= — 0,5х+3 и у=— 0,5x4-9;

2) У=х, у=х+ 4, у=-х + 4 и у=-х+ 12;

3) х^О, у^ 0, x²-hy²^ 9;

4) у=3х и у=х²;

5) у² = 4х и х=4;

6) ху= 1, х=4 и.у=х.

§2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Частной производной функции z=f(x, у) по переменной х называется производная этой функции при постоянном значении переменной у; она

обозначается — или z'_x. ох

Частной производной функции z=f(x, у) по переменной у называется производная по у при постоянном значении переменной х; она обозначается

dz

- или z,

Частная производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как производная этой функции по соответст­вующей переменной при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Полным дифференциалом функции z=f(x, у) в некоторой точке М (х, у) называется выражение

Dz dz

dz=-dx+-dy, (29.2)

Дх оу

dz dz j \

где — и — вычисляются в точке М\х, у), a dx=Ax, dy=Ay. dx dy

10. Найти частные производные функции:

1) z=x³+2xy²+3y ³; 2)

О 1) Находим частную производную по переменной х при постоянном

dz 2 2 у: —=3х²+2у². дх

Находим частную производную по переменной у при постоянном х:

dz

—=4ху+9у²; dy

dz 2х(х²+у²)—2х(х²—у²) 2х^ъ+ 2ху²— 2х^ъ+ 2ху² 4ху²

2) &Г (х²+у²)^{2 =} (х²+у²)^{2 =}{х²+у²)^2;

dz —2у(х²+у²)—2у(х²—у²)_—2х²у—2у³ — 2х²у+2у³_ 4х²у Ту~ (х²+у²)² (х²+у²)² •

Х—у

11. Вычислить значение частной производной функции z = —в точке М (— 2\ 3).

О Находим

dz (*+>>)-(*->>)_ 2 у dz -(х+у)-(х-у) 2х dx (х+у)² (х+у)²’ dy (х+у)² (х+у)²'

В полученные выражения подставим значения х=—2 и у=3:

12. Вычислить полный дифференциал функции z=x³ — 2х²у²+у³ в точке М(1; 2).

О Находим частные производные

Dz dz

—=3х²—4ху²; —= —4х²у+3у². дх ду

Вычислим значения частных производных в точке М (1; 2):

(ё) =^гП1;2)=3 1²-4 1-2²=-13;

(Q =^гИ1;2)=-⁴-¹²'2 + 3-2²=4.

Согласно формуле (29.2), получим dz= — 13dx+4dy. ф

13. Найдите частные производные следующих функций:

1) z=x³-3x²y-h4x³y²—y³; 2) z = —; 3) z =^y—*~; 4) z = e ~^x,y;

x+4y

5) z = ln(2x—7).

14. Вычислите значения частных производных функций в задан-

х_ 2 у

ных точках: 1) z=-—■ - в точке Л/(2; —1); 2) z = e^3x,y в точке М(1; 1); 3) z = ln(x²+y²) в точке М(2; —2); 4) z=j>/x+x ^в точке М(1; —2).

15. Вычислите полные дифференциалы функций в заданных точках: 1) ^z=-~“ ^{в точке} ^(2; —1); 2) z = sin(x² + 2y) при х=1, j = 2, t/x = 0,1 и ф> = 0,2; 3) z = e^x,2y при х=2, v=l, dx = 0,2 и dy = 0,l; 4) z = ln(2x+y) в точке М(1;0).

§3. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ

1. Определение двойного интеграла. Пусть в замкнутой ограниченной области D плоскости хОу определена непрерывная функция z=f(x, у). Разобьем область D произвольным образом на п частичных областей с площадями AS_u AS₂, AS_n. В каждой /-й элементарной области AS_t выбе­рем произвольную точку M_t (x„ y_t), умножим значение функции в этой точке f(x_h y_t) на площадь A S_t соответствующей области и составим сумму этих

п

произведений, т. е. £ f(x_h yi)AS_h которая называется интегральной суммой

i = 1

Функции f(x, у) в области D.

Двойным интегралом функции f(x, у) по области D называется предел этой суммы:

ton if(x_h *)AS_f=jj/(x, y)dS, (29.3)

D

где X—наибольший из диаметров элементарных областей A S_t. Функция z—/(jc, у), для которой предел (29.3) существует и конечен, называется интегрируемой в этой области.

В прямоугольных координатах дифференциал площади dS=dx dy, тогда двойной интеграл примет вид

Y)dxdy. (29.4)

Если f(x, j>)>0, то двойной интеграл функции z=f(x,y) по области D равен объему тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у), сбоку цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит контур фигуры D, и снизу плоскостью z=0.

2. Основные свойства двойного интеграла. 1°. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегра­лов от слагаемых функций :

JJ[/i (*’ y)±fi (*» Д] dxdy= j*JVi (*> y)dxdy± (x, y) dx dy.

D D D

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интег­рала :

§kf(x,y)dxdy=k y)dxdy.

D D

3°. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, т. е. если область состоит из двух областей D_x и D₂, то

y)dxdy=^f{x, y)dxdy+^f{x, y)dxdy.

D D_l D₂

3. Основные случаи вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах.

1) Если область D, в которой рассматривается двойной интеграл (29.4), есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и заданными уравнениями х—а, x=b (a^x^b), у=с, y=d (c^y^d) (рис. 198), то двойной интеграл вычисляется по одной из формул

Ъ d

jj f{x, y)dxdy=^dx j/ (x, .у) dy (29.5)

D a с

ИЛИ

D b

{{/, y) dxdy=jdy j/(jc, y) dx. (29.6)

D с a