Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

1. Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть r=\a+bi\ = = у/а² + Ь² — модуль, а ф—одно из значений аргумента комплексного числа a+ bi. Так как из соотношений (14.3) вытекает, что а=г совф, b=г sin ф, то

а-|- bi=г (cos ф + / sin ф). (14.5)

Таким образом, любое комплексное число а+Ыф 0 можно записать по формуле (14.5), где г—модуль, а ф — одно из значений аргумента этого числа.

Верно и обратное утверждение: если комплексное число a+bi представ­лено в виде (14.5), где г>0, то r=\a+bi\, ф = а^(а+6/).

Представление комплексного числа в виде z = г (cos ф Н- / sin ф),

где г> 0, называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для представления комплексного числа z = a+bi в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности argz тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.

2. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометриче­ской форме. Произведение комплексных чисел z₁=r₁(cos9₁ + /sin9₁) и z₂ = r₂ (cos ф₂ + / sin ф₂) находится по формуле

v! (cos ф_х + /sin ф!) • г₂ (cos ф₂ + isin ф₂) = г_xr₂ [cos (Ф1 + ф₂) +1 sin (Ф1 + ф₂) ],

(14.6)

т. е.

ki z₂1 = гi ■ г₂ = |z, I • |z₂1, arg (ziz₂)=<p j+<p₂.

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Частное комплексных чисел = (со8ф! +/sin9₁) и z₂ = r₂(со8ф₂ + + /sтф₂) находится по формуле

^(совф^/втф!) г_1г..

— г⁼ [cos (ф! ф₂)“Ь f sin (ф_г ф₂)], (14.7)

Г2 (cos ф₂ +1 Sin ф₂) Г2

т. е.

ri I Zj| Zi

=-=Г1’ аг_§-=_ф1-ф₂. г₂ |z₂| z₂

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригономет­рической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Для возведения комплексного числа г(со8ф + /8Шф) в п-ю степень используется формула

[г(с08ф + ШПф)]" = г"(с08Иф + ШПЖр), Л?= Z, (14.8)

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня п-й степени из комплексного числа г (cos ф 4-г sin ф) используется формула

------ 7 г(Ф + 271А:.. ф + 2лА:\

z^ = y (cos ф + f sin ф)=т I cos--------- Ь i sin------- 1, (14.9)

где \fr—арифметический корень, k = 0, 1, 2,1.

29. Представить в тригонометрической форме следующие числа:

2; 2)6i; 3) -2 + 2^3/; 4) 2—2*; 5) -у/3-i.

О 1) Здесь а = 2, Ь=О, г=2. Так как вектор, изображающий число 2, лежит на положительной полуоси Ох, то главное значение аргумента ф = 0; следовательно,

2 = 2 (cos 0 + / sin 0)

или

1 = 2 (cos 2кк+/ sin Ink), k^Z.

1) Здесь a = 0, b = 6, r=6. Поскольку вектор, изображающий число 6/, лежит на положительной полуоси Оу, главное значение аргумента ф = я/2; поэтому

6/=6 [cos (я/2) + / sin (7i/2) ]

или

6/=6 [cos (n/2+2пк) + / sin (n/2+2я£) ], к е Z.

2) Здесь а =—2, Ь = 2у/3, г=4. Точка, изображающая число z, лежит во

II четверти; tg ф = 2^/3/(— 2)= — _>/3, ф = 2я/3. Значит,

—2+2_ч/3/=4 [cos (2я/3) + / sin (2я/3) ]

или

— 2 + 2^/3/=4 [cos(2я/3+2я£) + /sin(2я/3 + 2пк)], fceZ.

3) Здесь а = 2, Ь= —2, г=2^/2. Точка, изображающая число z, лежит в IV четверти; tg ср = — 1, ф = — я/4. Поэтому

2—2i=2^/2 [cos (—я/4) + / sin (—я/4) ]

или

2— 2i=2y/2 [cos(— K/4+2nk) + ism(—n/4+2nk)], bZ.

4) Здесь а=—у/3, b= — 1, г=2. Точка изображающая число z, лежит в

III четверти; tgф = l/^/з, ф=—5я/6, тогда

— у/b — /=2 [cos (—5я/6) +1 sin (—5я/6) ]

или

— у/b — i=2 [cos(—5rc/6+2rc£) + /sin(— 5п/6+2пк)], k<=Z. ф

30. Представить в алгебраической форме числа:

1) z = 2 (cos 2и + / sin 2тс); 2) z = ^/2 [cos (Зтс/4)+/ sin (Зтс/4) ].

О 1) Подставив значения соз2я=1, 8т2я = 0 в данное равенство, получим z = 2 (1Ч- / * 0) = 2.

2) Имеем

z_=v/2 [cos(Зя/4) + isin(Зя/4)] = Jl [-_v^/2/2+i(_v^/2/2)]= -1 +». • 31. Найти произведение

2 [cos (тс/6) + / sin (тс/6) ]• 3 [cos (тс/12) +/sin (тс/12)].

О По формуле (14.6) получим

2 [cos (71/6) + / sin (тс/6) ] • 3 [cos (я/12) + / sin (те/12) ] = 2 * 3 [cos (я/6+я/12) +

+ / sin (я/6 + я/12)] = 6 [cos (я/4) + / sin (я/4) ] = 6 [(>/2/2) + / (^2/2) ] =

= 3_n/2+3i7'2. •

32. Выполнить деление: 10 [cos (Зя/4) +/sin (3/я/4)]:2 [cos (я/4) + /sin (я/4)].

О По формуле (14.7) находим

10 [cos (Зя/4) + / sin (Зя/4) ]: 2 [cos (я/4) + / sin (я/4) ] =

= (10/2) [cos (Зя/4—я/4) + / sin (Зя/4—я/4) ] = 5 [cos (я/2) + / sin (я/2) ] =

= 5(0 + /) = 5/. •

33. Возвести в степень: 1) [cos (я/6)+ /sin (я/6) ]⁶; 2) [3/2 — -(УЗ/2)/]¹⁰.

О 1) По формуле Муавра получим [cos (я/6) + / sin (я/6) ]⁶ = cos [6 • (я/6) ] + / sin [6 • (я/6) ]=cos я + / sin я =

= -1+/0=-1.

2) Представим данное число в тригонометрической форме. Здесь я = 3/2, Ь=— -Уз/2, т. е. г=^/(3/2)² + (—_>/з/2)² = _>/з. Точка, изображающая данное число, лежит в IV четверти, поэтому tgcp = (—_N/3/2):(3/2) = — >/3/3, т. е. ср = — я/6. Итак,

3/2—(д/3/2) /=>/3 [cos (- я/6)+/ sin (—я/6)].

Следовательно,

{>/3 [cos (—я/6)+/ sin (—я/6)] }¹⁰ = 3⁵ [cos (— 10 • я/6)+/ sin (— 10 • я/6)] =

= 3⁵ [cos (5я/3)—/ sin (5я/3)] = 3⁵ [cos (5я/3 — 2я)—/ sin (5я/3—2я)] =

= 243 [cos(я/3)+ /sin (я/3)] = 243 [1/2+/(^/3/2)]= 121,5(1 +/,/3). #

34. Применяя формулу Муавра, доказать справедливость сле­дующих тождеств: cos 2ф = cos² ф — sin² ф; sin 2ф = 2 sin ф cos ф; cos Зф = 4 соз³ф — 3 cos ф; sin Зф = 3 sin ф — 4 зт³ф.

О Полагая в соотношении (14.8) г— 1 и п — 2, получим

(cos ф + / sin ф)² = cos 2ф + / sin 2ф,

или

cos² ф + 2/ cos ф sin ф — sin² ф=cos 2ф + / sin 2ф.

Из условия равенства двух комплексных чисел следует, что cos 2ф = cos² ф — sin² ф; sin 2ф = 2 sin ф cos ф.

Аналогично, полагая в соотношении (14.8) r= 1 и п = 3, имеем (cos ф + / sin ф)³=cos Зф + / sin Зф,

т. е.

cos³ ф + 3/ со8²ф sin ф — 3 вт²ф cos ф — / sin³ ф=cos Зф+/ sin Зф.

Из условия равенства двух комплексных чисел следует: cos Зф = cos³ф — 3 sin²ф cos ф = cos³ ф — 3(1 — cos²ф) cos ф = 4 cos³ ф — 3 cos ф; sin Зф = 3 cos² ф sin ф — sin³ф = 3 (1 — 8Ш²ф) sin ф—sin³ф = 3 8Шф—4 sin³ф. #

35. Извлечь корни из комплексных чисел 1) y/i; 2)

О 1) Представим число / в тригонометрической форме: /=0+1*1 = =cos (л/2) + / sin (я/2). По формуле (14.9) получим

г. /- 7“^—.. _/ п/2 + 2кк.. к/2 + 2кк

z_k = y/^l = у/ cos (я/2) +1 sin (я/2)=cos-- h i sin =

=С08(я/4+я/:) + /8т(я/4+я/:), k=0, 1;

если k = 0, to z₀=cos (я/4) +/sin (я/4) = у/2/2+ (^/2/2)/;

если k= 1, to z! = cos (я/4+я)+/ sin (я/4+я) = — cos (я/4)—/ sin (я/4) = — у/2/2 —

-(n/2/2)*.

2) Представим число 1 в тригонометрической форме: 1 =cos0+/sin0. По формуле (14.9) находим

_г!---------------- г— 0+2я£ 0+2я/г

z_k = y\ = ycos0+/sin0=cos— h/sin—-—=

=С08(2яА:/3) + /8т(2яА:/3), к=0, 1, 2; если к = 0, то z_o=cos0+/sin0= 1; если к = 1, то z j = cos (2я/3) + / sin (2я/3) = — 1 /2+(>/3/2) /; если к = 2, то z₂=cos (4я/3) + / sin (4я/3) = — 1 /2—(>/3/2) /.

36. Представьте в тригонометрической форме комплексные чис- ла: 1) Зг; 2) -1 + г; 3) 1-/^3; 4)^3-/; 5) ^/3/2—(1/2)г; 6) -3+4/.

37. Представьте в алгебраической форме числа: 1) 5 [cos (я/2) + + / sin (я/2) ]; 2) 4 [cos (—я/3) + / sin (—я/3) ]; 3) cos я + / sin я;

2 [cos (я/4) + / sin (я/4) ]; 5) 3 (cos 0 + / sin 0).

38. Найдите произведения:

1) 3 [cos (я/8) + / sin (я/8) ] • [cos (5я/24) + / sin (5я/24) ];

2) 2 [cos (я/3) + / sin (я/3) ] • 5 [cos (— я/4) + / sin (- я/4) ];

3) (cos5 + /sin5) (cos2 + /sin2);

4) [cos (2я/3) + / sin (2я/3) ] • [cos (—я/2) + / sin (—я/2) ];

5) 4 (cos 10° + / sin 10°) • 2 (cos 35° + / sin 35°);

6) [cos (5я/6) + / sin (5я/6) ] • [cos (2я/3) + / sin (2я/3) ].

39. Выполните умножение, используя тригонометрическую фор­му комплексного числа:

0⁺5')(-^⁺^) 2)<l+.V3)(-2-2₁V3);

3) (1+0(3 + 3/^3); 4) (6 + 2г\/3)(—3 —Зг);

2) (5 + 5/)(cos 15° + / sin 15°);

3) 3 [cos (—я/8)+г sin (—я/8) ] • (3+>/Зг)-

40. Выполните деление в тригонометрической форме:

1) 3 [cos (Зя/4) + i sin (Зя/4) ]: [cos (я/2) + i sin (я/2) ];

2) (cos210° +/sin210°):(cos 150° + /sin 150°);

3) [cos(— я/3) + шп(—я/3)]: [cos(— n/6) + ism(— я/6)];

4) (cos 150° + i sin 150°): [cos (-120°) + i sin (-120°) ].

41. Возведите в степень:

 

42. Вычислите: 1) (1 -0¹²+0 + 0¹²; ²) -)8 ■

43. Извлеките корни: 1) \J— 1; 2) 3) \fi;4) i/4;

V-2+2/УЗ; 6) %Д.

§ 4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА

Степень e^z с комплексным показателем z=x+iy определяется ра­венством

 

(14.10)

(14.11)

которое называется формулой Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении в степень—пере­множаются.

Показательная функция имеет период, равный 2я/, т. е. e^z+2ni = e^z. В частности, при z=0 получается соотношение e²ⁿⁱ = l.

Тригонометрическую форму комплексного числа z=r (cos ср 4- / sin ср) можно заменить показательной формой:

(14.12)

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

(14.13)

(14.14)

(14.15)

__ _ ф + 2яЛ.

"Jre*=iJr-e " ' (к=0, 1, 2,..., л-1). (14.16)

Формула Эйлера (14.11) устанавливает связь между тригонометричес­кими функциями и показательной функцией. Заменив в ней у на ф и на — ср, получим

е^ф1=cos ф + i sin ф, е ~^ф1=cos ф — i sin ф.

Складывая и вычитая эти равенства, получим

cos ф=(е^ф1 + е^-ф1)/2, (14.17)

sin ф = (е* -)/(2/). (14.18)

Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражающие тригонометрические функции через показательные, позволяют алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии.

44. Найти: 1) е'*^/4; 2) е*^е~"'²; 3) е^2+ы.

О По формуле (14.11) получим:

1) е^Ы1* - cos (те/4) + i sin (тг/4)=^2/2+ЦуД/2);

2) е^т “ _=e"[cos(-«/2)+i_Sm(^n/2))_=e-,i_=c0s(-_re) ₊,-sin(-Jt)= - 1;

3) по формуле (14.10) получим e^2+I7t=e²(cosrc + /sin7i)= — е². ф

45. Найти: l)cos/; 2)cos(l— i).

О По формуле (14.17) получим:

. е¹ +е^-*² е~¹+е е² + \

,) с,,---------------------------------

cos(l —1)= = =-[e(cos 1 +/sin 1)+

+ e^-1 (cos(— l)H-/sin(— l)]=i[ecos 1 +e/sin 1 +e^_1cos 1 —

e² +1 e² — 1

—e^_1/sin l]=-[(e+e^_1)cos 1 +i(e—e~^l)sin l]=—-—cos 1 +/ —— sin 1. ф

46. Показать, что для комплексного переменного z справедливы формулы: 1) sin²z+cos²z = 1; 2) sin 2z = 2 sin z cos z; 3) cos 2z = = cos²z—sin²z.

О 1) Возведя обе части равенств (14.17) и (14.18) в квадрат и затем почленно складывая их, получим

, (e^zi + e~^zi)² (e^zi-e-^zi)² e^2zi+ 2+e~^2zi-e^2zi+ 2-e~^2zi

cos z+sin z=-------- —-—h-------- ⁼------------------------------------------- =1.

—4 4

2) Перемножив левые и правые части равенств (14.17) и (14.18), получим

e^zi+_e~^zi e^zi—e~^zi e^2zi-e~^2zi

2sinzcosz=2----------- •----------- =------------- =sin2z.

1 21 2 i

3) Возведя обе части равенств (14.17) и (14.18) в квадрат и почленно их вычитая, получим

₂ . ₂ (e^zi+e~^zi)² le^zi-e-^zi)²

cosz—sin²z=------- —------------ —=

4 -4

e^2zi + 2+e~^2zi + e^2zi—2 + e~^2zi e^2zi+e~^2zi

=------------------------------------- =------------- =cos2z.

4 2

47. Представить в показательной форме числа: l)z=2i;

2) z— — 1 + i.

О 1) Здесь я =О, 6=2, г=2, ф = те/2. По формуле (14.12) получим z=2e^inl2.

Здесь а= — 1, b= 1, r= 2, tgф = — 1, ф = Зя/4. По формуле (14.12) имеем z= _s/2e^3nil4‘. ф

48. Представив числа z₁ = l-\-iи z₂ = \ — iyjbв показательной форме, вычислить: 1) z_xz₂; 2) zi/z₂; 3) zf; 4) ^/z^.

О Для числа z₁ = lH-i имеем: а= 1, 6=1, г= 2, ф = я/4, т. е. Zj = = *j2e^im. Для числа z₂ = l — />/3 имеем: д= 1, 6= —>/3, г=2, ф= — тг/З, т. е. z₂ = 2е^-1я/3.

1) По формуле (14.13) находим ZjZ₂= _у/2е^1п14' •2е^_,я/3 = 2_л/2е“^1я/12.

2) По формуле (14.14) получим

²1 _\/^{2е Я/} m/4-(-fa/3)_V^ 7яЁ/12

z₂ 2е-^£я'³ 2 2

3) По формуле (14.15) имеем zf=(_Л/2е^1я/4)⁶ = 8е^13я/2.

4) По формуле (14.16) находим

_Zfc= 4/^₌уу2<>^/4= 8/2e^(n/4+lnk)il4, к=О, 1, 2, 3; если fc=0, то z₀= */2е^ы/16; если fc=l, то z₁₌= 8/2е^{(я/4+2я)1/4}= фе^ш,16\ если fc=2, то z₂= в/2_е^{(я/4+4я){/4}= 0.e^llai/16= */2e~^15ni/16; если fc=3, то z₃=*/2e^inl*+⁶*^yil*= *fie²⁵*^i/16= 0.е~™¹¹⁶. ф

49. Найдите: 1) е¹; 2) е*^я; 3) e^{1 + i}; 4) е*^я/2; 5) е*^я/3; 6) е⁴⁺³‘; 7) е²"‘; 8) е^3|“².

50. Найдите: 1) sin/; 2) cos(l+/); 3) sin (1 — /).

51. Покажите, что для комплексного переменного z справедливы равенства: cos(—z) = cosz; sin(—z)= — sinz;

.. -. „ • • о 1—cos2z о l+cos2z

sin3z=3sinz —4sin^Jz; sin^z=----; cos^z=.

2 2

52. Представьте в показательной форме числа: 1) 1; 2) у/3 + i;

2) 3 + 1^3; 4) -72+1^6.

53. Представив числа z_t = у/з + i и z₂ = y/l+iy/2 в показатель­ной форме, вычислите: 1) z_tz₂; 2) zjz^, 3) z\\ 4) 5) f[z₂.

§5. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

54. Выполните умножение: 1) (ау/Ь+Ыу/а)(—ау/Ь—Ыу/а);

2) (у/ф-iy/b/a)-(y/b/a+i у/а/Ь).

55. Разложите на множители: 1) 4. x:²+25; 2) а²+ 12;3) _х/5+9;

у/2+у/з.

С* ГУ cz 1 \ 9т² + 4п² х+\ а + Ь

56. Сократите дроби: 1) —-------- ——; 2) ———; 3)

Ът 2 in y/x+i y/a+iy/b

57. Выполните деление: 1) ⁺ 2) ⁿi\f™

y/b + iy/2 Пу/m+miy/n

58. Найдите модуль и аргумент комплексного числа j-.

59. Проверьте равенство >/^^+г\А_лА^+гЧ/^ ₌ ²(^{т п})

фп-iyfi yfa-iyfin ™+п

60. Найдите числовые значения многочленов: 1) jc¹⁵ + x¹⁴ + + 3л:¹² —xⁱ⁰+x⁷ при x = i\ 2) x³+;x:² + x+1 при x=\+i.

(4 V ([2 Л²

61. Выполните действия: 1) —-—; 2) /-—I—).

\л/з + // V ^{2 2}/

62. Возведением в квадрат докажите справедливость формул:

1) y/a + bi+ y/a—bi= y/2(yfa² + b² + a)\

2) y]a+bi— y/a—bi=iy/2(y/a² + b² — a).

63. Покажите, что если а = — 0,5 (1 -h / у/з), Ъ = 0,5 (— 1 + / у/з), то: 1) а^ъ = 1; 2) b³=1; 3) а² = Ь; 4) 6² = а.

64. Докажите, что jc³+j³ — Зху = — 1, если х=—0,5 +1,5/ и у= —0,5 —1,5/.

65. Произведите указанные действия:

1 ~ч 1 1 1+/ 1— /

^!) (Гйр⁺(М^{1; }} (Т+/р⁺(Г^р ^} Т^/⁺Т+?

66. Выполните действия в тригонометрической и показательной формах:

1) 5 [cos (я/6) — /sin (я/6)] • [cos (я/4) + /sin (я/4)];

2) 8 [cos (я/3) + /sin (я/3)]: 4 [cos (я/12) + /sin (я/12)].

67. Вычислите с помощью формулы Муавра:

1) [cos(я/24)+/sin(я/24)]⁶; 2) [cos^/10)+/sin^/10)]¹⁰.

68. Докажите, что (coscp + Zsincp)^-1 =coscp — /sincp.

69. Вычислите: 1) $/i; 2) ^/l + i.

70. Решите двучленные уравнения: 1) х³—8=0; 2) 8л:³—27=0;

х³+125 = 0; 4) 27х³ + 1=0; 5) х^[29]+81=0; 6) х^[30]-64=0.

71. Составьте квадратное уравнение с действительными коэффи­циентами,_корнями которого служат числа: 1) / и —/; 2) 3 + / и 3 — /;

l-iy/5 и 1 + г\/5.

72. Решите биквадратное уравнение х⁴+х² + 1=0, выполнив извлечение корня в тригонометрической форме.

73. Решите уравнения:

1) х⁶—28x427=0; 2) (2л:+3)^б-9(2х+3)³+8=0.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

 

I вариант

1) Найдите модуль и аргумент 8 + 21

числа

5 — 3/

II вариант

1) Найдите модуль и аргумент

5 + /

числа

1 + 3/

 

2) Выполните действия:

3-4/

2) Выполните действия:

5—4/

4+3/ 3) Возведите в степень по фор­муле Муавра (— 1 + г^/з)^9.

 

3) Извлеките корень ^/8.

4) Решите уравнение дс⁴—2л:² + +4=0.

 

Глава 15 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x, у, /)=0, F(jc, у, у")=0, F(x, у, у', у",..., /">)=0.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество. •

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравне­ния называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произволь­ную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определен­ных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует сово­купность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными назы­вается уравнение вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

фМ

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

x)dx.

1. Найти общее решение уравнения x(\+y²)dx=ydy.

О Разделив переменные, имеем

, ydy

xdx=-

\+у²

Интегрируем обе части полученного уравнения:

^у4уг, ^х4-Ыч-Л+'*с.

11 +у 2 2 2

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали (1/2) In С. Потенцируя последнее равенство, получим

х² = 1п [С(\+у²)].

Это и есть общее решение данного уравнения, ф

2. Найти частное решение уравнения stgtdt + ds = 0, удовлетво­ряющее начальным условиям s=4 при t = n/3.

О Разделив переменные, имеем

ds l%tdt+ — = 0.

s

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

= 1п С; —In cosf+lns=lnC, или

In s=In C+In cos/, S—C cos /.

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произволь­ной постоянной С подставим значения /=я/3 и s=4 в выражение для общего решения: 4=Ccos(ii/3), или 4=С/2, откуда С=8.

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид 5 = 8 cos/, ф

Найдите общие решения уравнений:

3. 1) x²dx = 3y²dy\ 2) y/xdy = y/ydx; 3) —

3) (l+j;) </* = (*-l)<fy.

4. 1) х^Л: = (1+х²)^; 2) 2)dfy = 0.

5. 1) (x²—yx²)dy+fa² + xy²)dx= 0; 2) x²dy—{2xy+3y)dx = $.

6. 1) (1 +j>²)</x— yfxdy = 0; 2) ^/l— x²dy—xy/\ — y²dx=0. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­ным начальным условиям:

7. 1) ydy — xdx; у = 4 при х=—2; 2)xdy=ydx; у —6 при х=2.

8. ds=(3t²—2t)dt; s=4 при t=2.

^ dy dx

9. -?=-?; ^=2 при x=0.

dydx

10. =--; y — 4 при x=0.

jc— 1 2

11. (1 +y)dx—(\ — x)dy\ y = 3 при x=—2.

12. — >>)л:ф> = 0; ^=1 при х=\.

13. y²dx = e^xdy; >>=1 при л: = 0.

dx

14. —^--- =ctgjcsinydy; у = я при х = п/3.

cos² ^ cos ^

§2. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

15. Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из точки М (4; 0) со скоростью v = 2t+3t².

О При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по

_ _ dx

времени. Обозначив путь через х, имеем v=—; тогда

dt

dx

—=2t+3t², или dx=(2t+3t²)dt. dt

Проинтегрировав, получим x=t² + t³ + C. Используя начальные условия, найдем С. Так как х=4 при /=0, то, подставив эти значения в общее решение, находим С=4. Итак, закон движения тела имеет вид х= = t² + t³ + 4. ф

16. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М (2; —3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 4jc—3.

О Согласно условию, имеем

—=4jc—3, или dy = (4х—3) dx. ах

Проинтегрировав, получим у=2х² — Зх+С. Используя начальные условия х=2 и у= — 3, находим С=— 5. Следовательно, искомое уравнение имеет вид у = 2х² — Зх—5. ф

17. Вода в открытом резервуаре сначала имела температуру 70°, через 10 мин температура воды стала 65°, температура окружающей резервуар среды 15°. Определить: температуру воды в резервуаре через 30 мин от начального момента; момент времени, когда температура воды в резервуаре станет равной 20°.

О Обозначим Т температуру воды в момент времени t. Скорость охлаждения воды есть скорость изменения функции, связывающей t и Т, т. е. dT

производная —.

dT

Величина — пропорциональна разности температур воды в резервуаре и dt

в окружающей его среде, т. е. к (Т—15°), где к—коэффициент пропор-

dT

циональности. Следовательно, —=к(Т—15°). Разделив переменные, имеем dT

——⁼ Проинтегрируем полученное уравнение:

\n(T-\5°)=kt+C, Т- 15⁰=е^к'^+с=е^к‘е^с=е^к,С_и

откуда

Т=С₁е^кг+15°. (*)

Это соотношение и выражает закон охлаждения воды.

Найдем величину Cj при начальных условиях Г=70° при /=0. Имеем

70=С₁е*‘°+15, или 55° = ^° = ^, т. е. С_{1 =} 55⁰.

Подставив найденное значение С_х в равенство (*), получим

T=55°e^ht+15°. (**)

Найдем величину к. По условию, Г= 65° при t =10 мин. Подставив эти значения в соотношение (**), получим

65° = 55V¹⁰+15°, или 50° = 55°е¹⁰*, или 10/11=£>^1О\ Прологарифмировав последнее равенство, имеем lg 10—lg 11 = 10/rlge,

откуда

, 1-lgll 1-1,0414 0,0414

‘-т4г*й1йй5--434Г--⁰’⁰⁰⁹⁵³²'

Подставив значение к в соотношение (**), получим закон охлаждения, связывающий переменные t и Т:

Т=55°е~°’^009532г+ 15°. (***)

Найдем температуру воды через 30 мин от начального момента. Для этого в уравнение (***) подставим значение / = 30:

Г=55^ое^-0,009532'³⁰+15°, или Г=55°е^_0’²⁸⁶ + 15°.

Произведем вычисления:

*=55 • е -°’²⁸⁶, lg* = lg55 - 0,2861ge= 1,7404- 0,286 • 0,4343 = = 1,7404-0,1242= 1,6162, *=41,32*41; тогда Г=4Г + 15° = 56°.

Найдем, через сколько времени температура воды в резервуаре станет равной 20°. Подставив значение Г=20° в соотношение (***), получим

20° = 55°е~°’⁰⁰⁹⁵³²* +15°, иди 5^о = 55^о<?"°’⁰⁰⁹⁵³²‘,

откуда

_e-o,oo9532_t=1/11^_{00909> ши} _ од)09532* lg е=lg 0,0909 = 2,9586,

т. е.

2,9586 1,041

t—---------------------------------------------- «251 мин=4 ч И мин. #

0,009532 • 0,4343 0,009532 • 0,4343 18. Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причем сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти: 1) скорость вращения диска в момент t=120 с, если при t=0 он вращался со скоростью 12 рад/с, а при г=10с его скорость стала 8 рад/с; 2) момент времени, когда скорость вращения диска окажется равной 1 рад/с.

О Пусть со—угловая скорость вращения диска в момент времени t,

d(o

тогда замедление вращения диска под воздействием силы трения равно —.

at

d(d

Согласно условию, —=/гсо, где к—коэффициент пропорциональности. dt

Разделив переменные и интегрируя, получим

rffi) _(J frffl),г,, ^

—=kdt, —=k\dt, Inю = А*+С,

® J © J

откуда (d = e^kt+c = e^kte^c₉ или

co=C₁e^fct. (*)

Найдем постоянную величину С_х при начальных условиях со =12 рад/с при / = 0. Подставив эти значения в равенство (*), имеем 12 = C₁e^fe'°, т. е.

12= Cj. Таким образом,

(o=\2e^kt. (**)

Найдем числовое значение к по следующим данным: /=10 с и со=8 рад/с. Подставим эти значения в равенство (**): 8=12е*'¹⁰, откуда

е¹⁰* = 2/3, 10Л: lg е=lg 2—lg 3,

Ig2-lg3_ ljg 3—lg 2_____________ 0,4771 —0,3010

lg e- 10 lg e- 10 0,4343

Подставив значение к в равенство (**), получим

со= 12е~⁰’⁰⁴⁰⁵*. (***)

Найдем скорость вращения диска в момент времени /=120 с. Подставим в равенство (***) значение /=120:

со= 12е^-0’⁰⁴⁰⁵’¹²⁰= 12е^-4,9 = 0,09 (рад/с).

Определим, в какой момент времени диск будет вращаться со скоростью

1 рад/с. Подставив в соотношение (***) значение ю=1, имеем

l = 12e"⁰⁰⁴⁰⁵'; _e-o.M05,₌_L_; —0,0405?lge=lg 1 —lg 12, lg 12

^г=о^кг^{61 (c)}- •

19. Найти закон движения тела по оси Оу, если оно начало двигаться из точки М(0; 6) со скоростью v = 4t—6/².

20. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; — 1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом к=\/(2у).

21. Составить уравнение кривой, проходящей через точку (1; 4), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью Оу.

22. Температура воздуха равна 20°. Тело охлаждается за 40 мин от 80 до 30°. Какую температуру будет иметь тело через 30 мин после первоначального измерения?

23. Радий распадается со скоростью, пропорциональной началь­ному его количеству. Через сколько лет распадется половина начального его количества? Принять к=0,00044 (единица измерения времени—год).

24. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости. В какой момент времени скорость вращения диска окажется равной 2 рад/с, если при /=0 он вращается со скоростью 20 рад/с, а при /=8 с—со ско­ростью 16 рад/с?

§3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Уравнение вида

—+/(*Ь+ф(*)=о,

где /(х) и ф (х)—функции от х, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частном случае /(х) и ф(х) могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися перемен­ными с помощью подстановки y=uz, где и и z—новые функции от х.

dy 2у / v _%

Найти общее решение уравнения г=(*+1).

dx х+1

О Это линейное уравнение: здесь f{x)=— 2/(х+1), <р(*)= — (х+1)³. Положим y=uz и продифференцируем это равенство по х:

dy dz du

dx dx dx

dy

Подставив теперь выражения для у и — в данное уравнение, получим

dx

dz du 2 uz. _v,

и —+z----------- -=(x+1),

dx dx x+1

или

dz (du 2u\ ,..

Так как одну из вспомогательных функций и или z можно выбрать произвольно, то в качестве и возьмем одно из частных решений уравнения du 2и

- ---------- =0. Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, имеем

dx х+1

du 2dx Cdu Г dx,.. „_ч,

-------- -=0, —=2 ------- 1пм=21п(х+1), w=(x+1)

и x +1 J и J x +1

(произвольную постоянную С принимаем равной нулю, так как находим одно рз частных решений).

Подставим теперь выражение для и в уравнение (*); тогда получим уравнение

(*+1)²^=(*+1)³, или ~г—х+1- ^y dx^K dx

Отсюда находим

(x+\)dx; zJ°y +С.

Зная и и z, теперь получаем общее решение данного уравнения:

,.«.(х₊,).[Ь±!)!₊с].Ц!£₊с(,₊1)>. •

25. Найти частное решение уравнения cos xdy-\-у sin xdx — dx, если y= 1 при л: = 0.

О Разделив все члены данного уравнения на cos xdx, получим уравнение dy 1

-f+y tgx= ------------, (*)

dx cosx

dy dz du

которое является линейным. Положим y=uz; тогда —=и——\-z—. Под-

dx dx dx

dy, ₄

ставив выражения для у и — в уравнение (*), имеем

dx

Для отыскания и получаем уравнение

du du

-—bwtg*=0, т. е. —btg*d*=0, dx и

откуда

“Jtgxdx; In u = In cos*; w = cos*. Подставляя выражение для и в уравнение (*), имеем

dz

cosx—=-------, или —=------- г—, т. е. z=tg*+C.

dx cos* dx cos *

Следовательно, общее решение данного уравнения записывается так:

y = uz = cos * (tg *+С) = sin *+С cos *.

Используя начальные условия у= 1, *=0, имеем 1 = sin0 + Ceos 0, откуда С= 1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид }> = sin*+cos*. ф

Найдите общие решения уравнений:

26. 1) ^-2j-3=0; 2) ^=у+1; 3) x^f-x² + 2y=0.

dx dx dx

27. 1) %+ху=х; 2) 3) %-ус Цдг-йп*.

Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­ным начальным условиям:

 

§4. НЕПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

 

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содер­жит две произвольные постоянные.

32. Найти общее решение уравнения 3 -^=sin jc.

О Это неполное дифференциальное уравнение второго порядка вида

d²y.. dy

—— =f(x). Полагаем —=z; тогда данное уравнение можно записать в виде dx^{2 4} ' dx

d (dy\ dz

I — I = sm x, т. e. — =sin x, dx \dx) dx

откуда dz = sin xdx. Интегрируя последнее равенство, получим J d!z = J sin jc dx, т. e. z=— cosx+C₁.

Следовательно,

dy

—-= -cosx+ C_l5 т. e. dy=(—cosx+C^dx. dx

Снова интегрируя, находим

jdy — j(—cosx+Cjdx, или y= — втх+С^+Сз- Это и есть общее решение данного уравнения, ф

33. Найти частное решение уравнения ^Л=2^-, если у=4 и %= 1

dx¹ dx ⁷ 2 dx

при jc=0.

О Это неполное дифференциальное уравнение второго порядка вида

d²y J dy\ dy d²y dz dz

—r=/|—. Положим =z; тогда —г=— и, значит, =2z. Разделив в dx² \dxj dx dx² dx dx

этом уравнении переменные и интегрируя, получим dz z

Следовательно,

dy

dx = e²^, (*)

т. e. dy=e^2x+c'dx. Интегрируя, находим общее решение данного уравнения:

у=(\/2)е^2х+с> + С₂. (**)

Для нахождения искомого частного решения подставим в соотношения (*) и (**) начальные данные:

(\₌₌е^20+с',

\3/2 = (1/2)е^{2 0+с}> + С₂, ““ |з/2=(1

(1/2) е^с‘ + С₂,

откуда С 1=0, С₂ = 1* Таким образом, искомое частное решение имеет вид у=(\/2)e^ix+l. ф

d²y 1 dy

34. Найти частное решение уравнения —%=—- -f-, если у = 2 и

dx^z х+2 dx

Положим —=z; тогда =—. Подставив выражения для

 

d у dy dz 1

—г- и — в данное уравнение, получим —=----------- z. Разделив переменные и

dx dx dx х+2

интегрируя, имеем

dz dx Г dz Г dx

—=------ \nz=\n(x+2)+\nC_l,

z x+2 J z J x+2

откуда z = C₁(.x;+2). Следовательно,

%⁼C_t(x+ 2 ). (*)

Теперь можно найти общее решение данного уравнения:

>>=(1/2) C₁jc² + 2C₁x+C₂. (**)

Найдем частное решение, подставив в уравнения (*) и (**) начальные данные:

8 = С, (2 + 2),

2 = (1/2) С₁-2² + 2С₁-2 + С₂,

откуда Cj= 2 и С₂= —10. Таким образом, искомое частное решение имеет вид у=х² + 4х—10. #

Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­ным начальным условиям:

43. Ускорение свободно падающего тела удовлетворяет уравне-

d²s

нию -^=g (g~9,8 м/с²). Найдите закон движения тела, если s=s₀ и ds

—= v ₀ в момент времени / = 0. dt

§5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

d²y dy

~dS^+pT_x-

—+p—+qy=0, (15.1)

где р и q—постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (15.1) составляется характе­ристическое уравнение

r²+_pr+q = О, (15.2)

d²y dy

которое получается из уравнения (15.1) заменой —-, — и у на соответ-

dx ² dx

ствующие степени г, причем сама функция у заменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (15.1) строится в зависимости от корней г₁ и г₂ характеристического уравнения (15.2). Здесь возможны три случая.

I случай. Корни rj и г₂—действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (15.1) имеет вид

у = С_хе^Т'^х+С_ге^Т*. (15.3)

II случай. Корни и г₂—действительные и равные: r₁ = r₂=r. Тогда общее решение уравнения (15.1) записывается так:

У={С^С₂х)е^гх. (15.4)

III случай. Корни г₁ и г₂—комплексно-сопряженные: г₁ =а-Ьр/; г₂ = а—(3/. В этом случае общее решение уравнения (15.1) записывается следующим образом:

^^(Cjcospx+Cjsinpx). (15.5)

d²y - dy dx² dx

44. Решить уравнение 7 —+ 10у = 0.

О Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: r²-7r+10 = 0; r_t = 2, г₂ = 5. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (15.3) запишется так: у=С_хе^2х + С₂е^5х. #

45. Найти частное решение уравнения 5 —=0, если у= 1 и

О Составим характеристическое уравнение г² — 5г=0, откуда г₁ = 0, г₂ = 5. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид

у = С₁е^{0 х}+С₂е^5х, т. е. у = С₁ + С₂е^5х.

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных С_х и С₂. Подставив в общее решение значения *=0, у= 1, получим \ = С₁ + С₂.

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выраже- dy dy

ние значения *=0, —= — 1, имеем —=5С₂е, —1 = 5С₂. Отсюда находим: dx dx

С₂= —1/5, Cj = 1 — С₂ = 6/5. Таким образом, искомое частное решение имеет вид у = 6/5-(l/5)e^Sx. Ф

d²y dy

46. Решить уравнение —г—8—I-16^ = 0.

dx dx

О Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: г² — 8r+16 = 0; г₁ = г₂=4. Характеристическое уравнение имеет равные дейст­вительные корни; поэтому согласно формуле (15.4) общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде у = (С₁ + С₂х)е^4х. ф

47. Найти частное решение уравнения у" + 8у'+16^ = 0, если у= 1 и у'= 1 при * = 0.

О Так как характеристическое уравнение г² + 8г+16 = 0 имеет равные действительные корни г₁ = г₂= —4, то общее решение данного дифферен­циального уравнения записывается в виде

у = (Q + С₂х) е~^4х = С₁е~^4х+С₂хе~*^х.

Дифференцируя общее решение, имеем

/= — 4C_te ~^4х + С₂е ~^4х—4С₂хе ~ ^4х.

Подставив начальные данные в выражения для у и у\ получим систему уравнений

Г1=С>^о+С₂-0-е^о, fl=C_lt

{l = -4C₁e°+C₂e^o-4C₂ 0 e°, |l = -4C₁ + C₂,

откуда Cj = 1 и С₂ = 5. Следовательно, искомое частное решение имеет вид у=е~^4х+5хе~^4х. ф

48. Решить уравнение у" — 6у' + 25у = 0.

О Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: г² — 6r+25 = 0; rj = 3 + 4/, r₂ = 3—4i; здесь а = 3, р=4. Так как характеристи­ческое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня, то общее решение дифференциального уравнения согласно формуле (15.5) записы­вается в виде ^=e^3x(C₁cos4*+C₂sin4*). •

49. Найти частное решение уравнения у" — 6у'+13 = 0, если у= 1 и / = 5 при л:=0.