Отображение бесконечно малой сфероидической трапеции на плоскости.

 

Бесконечно малая сфероидическая трапеция ABCD эллипсоида (рис 6.2) отображается на плоскость бесконечно малой косоугольной трапецией (рис 6.3), которую с точностью до членов более высоких порядков малости можно принять за бесконечно малый параллелограмм, а её линейный элемент - за бесконечно малый отрезок прямой.

Элементами этого изображения являются: бесконечно малые отрезки изображения меридиана и параллели , которые образуют с осью абсцисс Х соответственно углы , линейный элемент , составляющий с осью Х угол ; азимут линейного элемента ; углы i в точках проекции между изображениями меридианов и параллелей и площадь изображения малой сфероидической трапеции .

Линейный элемент.

Рис. 6.3. Элементы изображения бесконечно малой сфероидической трапеции.

Из рис (6.3) имеем:

Определим значения cosi и sini. Для этого вначале составим функцию . Используя коэффициенты Гаусса (6.24) получим:

При этом из двух знаков перед корнем берётся знак плюс, так как в математической картографии всегда используется только положительное значение h.

Теперь, если записать:

 

В этих формулах угол i считается северо-восточным в том же направлении, как идёт счёт азимутов. Его четверть определяется знаком при величине f.

Если f>0, то - угол лежит в первой четверти.

Если f<0, то - угол лежит во второй четверти.

При f=0,угол - меридианы и параллели изображаются ортогональными линиями.

Таким образом, выражение

(6.35)

является условием ортогональности картографической сетки на проекции.

Поскольку сетка часто изображается не ортогонально, то нередко возникает вопрос о величине отклонения угла i от прямого. Обозначим , тогда из формулы (6.31):

(6.36)

 

выражение (6.37) устанавливает связь азимутов линейных элементов на плоскости и на поверхности эллипсоида.

 

Площадь изображения бесконечно малой трапеции на проекции.

Для бесконечно малого параллелограмма можно записать:

.

Используя выражения (6.25) и (6.34) получаем равенство:

(6.37)

 

Теория искажений.

 

Масштабы и искажения.

Растяжение и сжатие отдельных частей изображения картографируемой поверхности в той или иной картографической проекции неизбежно сопровождаются искажениями длин, площадей и углов, причём эти искажения зависят от свойств изображения.

Каждая карта имеет главный масштаб, который показывает общую степень уменьшения всей картографируемой поверхности при её отображении на плоскости. Этот масштаб подписывается на карте, но сохраняется только в отдельных точках или на некоторых линиях карты.

При исследовании картографических проекций главный масштаб, обозначаемый , обычно принимают за единицу, т.к. он не влияет на свойства используемой картографической проекции.

Поскольку масштаб на карте является величиной переменной, в практику вводится понятие частных масштабов длин и площадей в данной точке по данному направлению.

Частным масштабом длин называется отношение бесконечно малого отрезка в проекции к соответствующему бесконечно малому отрезку на картографируемой поверхности .

(6.38)

Частный масштаб длин является функцией географических координат, определяющих положение точки на картографируемой поверхности, и азимута направления, по которому определяется частный масштаб,

В дальнейшем частные масштабы для простоты изложения будем называть масштабами вдоль каких-либо направлений. Например, масштаб по меридианам.

Искажение длин называется разность между частным масштабом и единицей, выраженная в процентах, например:

т.е. искажение длин может быть положительным и отрицательным. Частный масштаб длин отрицательным быть не может, в случае изображение пропадёт.

Частным масштабом площади (р) называется отношение бесконечно малого (элементарного) участка на карте к соответствующему участку на картографируемой поверхности .

Как правило, , но могут существовать такие проекции, в каждой точке которых , - равновеликие проекции.

Частный масштаб площади зависит только от географического положения изображаемой точки:

В дальнейшем будем называть частный масштаб площади просто масштабом площади.

Искажение площади называется разность между масштабом площади и единицей, выраженная в процентах, например:

В некоторых случаях искажения длин и площадей характеризуют отвлечённой величиной, выраженной разностями , или логарифмом масштаба , при разложении которого в ряд первым (главным) членом разложения будет разность .

Третий вид искажений – искажения углов; они характеризуются разностью между величиной угла в проекции и величиной соответствующего угла на картографируемой поверхности .

Как правило, , но могут существовать такие проекции, в каждой точке которых , - равноугольные проекции.

Искажение углов:

является функцией географических координат и азимутов направлений

.

В каждой точке проекции имеют место максимальные искажения углов, обозначаемые :

,

где - изображение азимута в проекции по указанному направлению.

Величина искажений является одним из основных критериев оценки достоинства картографических проекций.

 

Вывод общей формулы частного масштаба длин.

Масштабы по меридианам и параллелям.

Частный масштаб длин по формуле (6.28)

 

В последней формуле использованы коэффициенты Гаусса:

и подставим в формулу (6.44),

Для шара

Не трудно видеть из выражений (6.47) – (6.51), что частные масштабы длин по любому направлению зависят от координат точек и азимутов направлений линейных элементов.

 

Экстремальные значения частных масштабов длин,

главные направления.

Продифференцируем формулу (6.51) по и полученную производную (при обозначении ) приравняем нулю.

Тогда

(6.52)

Поскольку период тангенса равен , это уравнение даёт два корня , т.е. даёт значения азимутов двух направлений, по которым частные масштабы длин экстремальны.

Эти направления ортогональны и называются главными, при этом экстремальные масштабы обозначаются буквами а – наибольший и b – наименьший масштабы.

Применяя теоремы Апполония, можем найти формулу связи экстремальных масштабов с масштабами по меридианам и параллелям.

 

Теорема 1. Сумма квадратов сопряжённых полудиаметров эллипса – величина постоянная, равная сумме квадратов его полуосей:

 

Теорема 2. Площадь параллелограмма, построенного на сопряжённых полудиаметрах эллипса, - величина постоянная, равная площади прямоугольника, построенного на его полуосях:

(6.53)

 

Решим приведённые уравнения совместно (умножив предварительно обе части последнего уравнения на два):

и введём новые обозначения А и В:

Тогда исходные экстремальные масштабы

(6.54)

 

 

Эллипс искажений.

Наибольшие искажения углов.

Пусть на эллипсоиде взята бесконечно малая трапеция ABCD, которую с достаточной точностью принимаем за плоский бесконечно малый прямоугольник (рис.6.5).

Рис. 6.5. Бесконечно малые окружность и трапеция на эллипсоиде.

Изображение этой трапеции на плоскости с той же точностью примем за бесконечно малый параллелограмм (рис.6.6).

Рис. 6.6. Схема построения эллипса искажений.

Установим в каждой точке на поверхности эллипсоида, например, в точке А системы координат и и соответствующих точках плоскости – системы и , в которых оси направлены вдоль меридианов, параллелей и по главным направлениям. Проведём вокруг точки А на поверхности эллипсоида (сферы) окружность радиусом R=AC:

(6.55)

 

Учитывая значения частных масштабов длин вдоль меридианов:

;

и параллелей:

,

выражение (6.55) на плоскости принимает вид:

(6.56)

Отсюда следует, что в общем случае бесконечно малая ок5ружность (6.55) на поверхности эллипсоида (сферы) изображается на плоскости бесконечно малым эллипсоидом (6.56).

 

Из формулы (6.56) также следует, что в частных случаях, а именно в равноугольных проекциях, в которых частные масштабы длин вдоль меридианов и параллелей равны (m=n), бесконечно малая окружность на поверхности эллипсоида (сферы) изображается на плоскости подобной бесконечно малой окружностью.

Эллипсом искажений или индикатрисой (указательницей) Тиссо назвали эллипс конечных размеров (например, при радиусе окружности (6.55) R=1), соответствующий бесконечно малому эллипсу (6.56).

Для его построения достаточно вычислить в заданной точке значения частных масштабов длин m,n или a,b и углов i (или ) и , а затем отложить по направлениям меридианов, параллелей и главным направлениям на проекции отрезки пропорциональные значения частных масштабов.

Теперь из рис.6.5 и 6.6 запишем значения углов на эллипсоиде (сфере) и проекции от главных направлений:

а также искажения углов на проекции:

(6.57)

Используя значения экстремальных частных масштабов длин

,

нетрудно определить формулу связи этих углов:

(6.58)

Это позволяет представить азимуты линейных элементов в виде:

(6.59)

Составим отношение:

Подставим в это соотношение значение v из выражения (6.58):

Обозначим по В.В. Витковскому наибольшие искажения углов и учитывая, что наибольшие их величины будут при , получаем:

(6.60)

 

 

Частные масштабы площадей.

Из определения частного масштаба площадей

На картографируемой поверхности площадь элементарной трапеции, ограниченной бесконечно малыми дугами меридианов и параллелей (рис6.7),

Рис. 6.7. Элементарная сфероидическая трапеция: а – на поверхности; б – на плоскости.

 

.

На плоскости (рис.6.7)

Тогда масштаб площадей

(6.61)

Используя формулу (6.53) получим .

Известно, что , поэтому

(6.62)

В приведённых формулах частный масштаб площадей выражен через частные масштабы длин. Если в формулу (6.61) подставить значения частных масштабов длин и синуса угла между меридианами и параллелями, то формула частного масштаба площадей примет вид:

(6.63)