Азимутальные и перспективно-азимутальные проекции

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ АЗИМУТАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ

Азимутальные проекции можно рассматривать как частный случай конических проекций, в которых параметр равен единице.

Азимутальные проекции чаще всего применяются для карт мелких масштабов, поэтому поверхность Земли или другой планеты обычно принимают за сферу радиуса R. Если же проекции используются для карт средних или крупных масштабов, то земная по­верхность может быть принята за эллипсоид.

Азимутальные проекции делятся на нормальные ( = 90°), косые (0°< <90°) и поперечные ( = 0°). Полюс сферической (или сфероидической) системы координат Q ( ) выбирается в центральной точке территории.

В нормальных азимутальных проекциях (рис. 7.15) меридианы изображаются прямыми линиями, пересекающимися в одной точке под углами, равными разностям долгот соответствующих меридианов, а параллели — концентрическими окружностями с центром в точке пересечения меридианов. Промежутки между параллелями определяются принятым характером изображения или способом проектирования точек поверхности на картинную плоскость (перспективно-азимутальные проекции).

В косых и поперечных проекциях такой же вид имеет сетка вертикалов и альмукантаратов, меридианы же и параллели чаще всего изображаются кривыми

линиями (рис.7.16).

 

РИС. 7.15. Системы координат в нормальной азимутальной проекции

РИС. 7.16. Системы координат в косой и поперечной азимутальных проек­циях

В азимутальных проекциях используются две системы плоских координат — полярные ( ) и прямоугольные (х и у) (см. рис.7.15).

Общие формулы азимутальных проекций можно получить для случая косых проекций как наиболее общего:

(7.15)

где — частные масштабы длин по вертикалам; — частные масштабы длин по альмукантаратам; а и b— экстремальные частные масштабы длин. Формулы нормальных азимутальных проекций могут быть получены по формулам (7.15) путем замены z на ( ) и а на .

Значение функции, определяющей полярный радиус , находят в зависимости от условий изображения — равноугольного, равновеликого, равнопромежуточного по вертикалам (меридианам), или иного по характеру искажений.

Так как в азимутальных проекциях вертикалы и альмукантараты взаимно перпендикулярны, с ними совпадают главные направления и масштабы и , являются экстремальными ( = b, = a). Масштабы и искажения являются функциями только зенитного расстояния (широты), поэтому изоколы совпадают с альмукантаратами (параллелями) и имеют вид окружностей. Азимутальные проекции выгодны для изображения территорий с округлыми очертаниями.

В проекциях, определяемых формулами (7.15), искажения всех видов отсутствуют в центральной точке проекции и нарастают с удалением от нее.

Нормальные азимутальные проекции применяются для изображения полярных областей, северного и южного полушарий. Более часто используются косые и поперечные проекции — для карт материков, западного и восточного полушарий и других частей земной поверхности или планет.

В перспективно-азимутальных проекциях картографируемую поверхность принимают за сферу радиуса R или за эллипсоид вращения. Изображение проектируется по законам линейной перспективы из точки проектирования на картинную плоскость; при этом точка проектирования помещается на продолжении одного из диаметров сферы. Этот диаметр считается основным и совпадает с главным лучом проектирования. Картинная плоскость перпендикулярна к основному диаметру и, как правило, является касательной к поверхности в центральной точке изображаемой территории. С данной точкой совмещается и полюс полярных сферических координат Q ( ).

Перспективно-азимутальные проекции подразделяют на проекции с негативным изображением и проекции с позитивным изображением.

В проекциях с негативным изображением на картинную плоскость К. проектируется наиболее удаленная от точки проектирования часть сферы (рис. 7.17) проекциях же с позитивным изображением проектируется та часть сферы, которая обращена к точке

Если расстояние от точки проектирования до картинной плоскости принять за L, а расстояние от точки зрения до центра сферы — за D, то для перспективно-азимутальных проекций с негативным изображением

,

а для перспективно-азимутальных проекций с позитивным изображением

.

В зависимости от расстояния D перспективно-азимутальные проекции подразделяются на гномонические (D = 0), стереографические (D = R), внешние ( ), ортографические ( ).

В зависимости от широты полюса полярной сферической системы координат перспективно-азимутальные проекции подразделяются на нормальные( =90°), косые (0°< <90°), поперечные ( = 0).

РИС.86.Схема образования перспективных проекций негативным и позитивным изображениями

Сетка вертикалов и альмукантаратов изображается так же, как и в азимутальных проекциях. Основные формулы идентичны формулам азимутальных проекций, но полярный радиус находят геометрическим путем.

Определим для косых внешних проекций с негативным и позитивным изображениями, как для наиболее общих случаев (рис. 7.17).

При негативном изображении из подобия треугольников и

;

из .

Так как , то

(7.16)

При позитивном изображении из подобия треугольников и

.

Подставив значения

, получим

Применяя общие формулы азимутальных проекций, получим формулы перспективно-азимутальных проекций с негативным и позитивным изображениями:

(7.17)

Так как изоколы имеют вид окружностей, совпадающих с альмукантаратами, перспективно-азимутальные проекции используются для изображения территорий округлой формы.

Внешние проекции с позитивным изображением могут применяться для построения картографической сетки на аэрокосмических снимках как в случаях, когда оптическая ось фотокамеры перпендикулярна к картографируемой поверхности, так и в случаях наличия углов наклона.

Рассмотрим частные случаи перспективно-азимутальных проекций с негативным изображением для сферы, нашедших широкое применение.