Тема 28. Прямые и плоскости в пространстве

Задание 61. Определите взаимное расположение прямых и плоскостей, проходящих через вершины куба ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁.

 

 

1. СА и (DCB); ВA ₁ и (DCB); D ₁ А ₁ и (DCB);

BC ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C и DC ₁; D D ₁ и CC ₁;

BB ₁ и DC; A ₁ B₁ и BC; (A ₁ BB₁) и (CDC 1).

2. СС ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (DCB);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁;

BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; A ₁ B и DC ₁.

3. СС ₁ и (A CB); AA ₁ и (DCC₁); D ₁ C ₁ и (A CB);

B ₁ C и (DD ₁ C ₁); BC ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC;

BB ₁ и AC; A ₁ B и DC; (A ₁ BC) и (ADD ₁).

4. СA ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (CBD);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁;

BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (AA ₁ B)и (DCC ₁).

5. B ₁ C и DC ₁; D D ₁ и CC ₁; BC ₁ и (DD ₁ C ₁);

BB ₁ и DC; A ₁ B ₁и BC; (A ₁ BB ₁ ) и (CDC ₁);

СА и (DCB); ВA ₁ и (DCB); D ₁ А ₁ и (DCB);

6. BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (A A ₁ B) и DD₁C;

СС ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (DCB);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁.

7. B ₁ C и (DD ₁ C ₁); BC ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC;

СС ₁ и (A CB); AA ₁ и (DCC₁); D ₁ C ₁ и (A CB);

BB ₁ и AC; A ₁ B и DC; (A ₁ BC)и (ADD ₁).

8. B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁;

СA ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (CBD);

BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (AA ₁ B) и (DCC ₁).

 

9. СА и (DCB); ВA ₁ и (DCB); D ₁ А ₁ и (DCB);

BC ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C и DC ₁; DD ₁ и CC ₁;

BB ₁ и DC; A ₁ B ₁и BC; (A ₁ BB ₁) и (CDC ₁).

10. СС ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (DCB);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁;

BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (AA ₁ B) и DD₁C.

11. СA ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (CBD);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁;

BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (AA ₁ B) и (DCC ₁).

 

12. B ₁ C и DC ₁; DD ₁ и CC ₁; BC ₁ и (DD ₁ C ₁);

BB ₁ и DC; A ₁ B ₁и BC; (A ₁ BB ₁) и (CDC ₁);

СА и (DCB); ВA ₁ и (DCB); D ₁ А ₁ и (DCB).

13. BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (AA ₁ B)и (DD ₁ C);

СС ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (DCB);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁.

14. B ₁ C и (DD ₁ C ₁); BC ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC;

СС ₁ и (A CB); AA ₁ и (DCC ₁); D ₁ C ₁ и (A CB);

BB ₁ и AC; A ₁ B и DC; (A ₁ BC) и (ADD ₁).

15. B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁;

СA ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (CBD);

BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (AA ₁ B) и (DCC ₁).

16. BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (AA ₁ B) и DD ₁ C;

СС ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (DCB);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁.

17. A ₁ B и DC; BC ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC;

СС ₁ и (A CB); AA ₁ и (DCC ₁); D ₁ C ₁ и (ACB);

BB ₁ и AC; B ₁ C и (DD ₁ C ₁); (A ₁ BC)и (ADD ₁).

18. BB ₁ и AC; B ₁ C ₁ и DC ₁; СА и (DCB);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); ВA ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB);

D ₁ C ₁ и (CBD); A ₁ B и BC; (AA ₁ B)и (DCC ₁).

19. СA ₁ и (DCB); D ₁ А ₁ и (DCB); A ₁ D 1 и DC ₁;

BC ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C и DC ₁; DD ₁ и CC ₁;

BB ₁ и DC; A ₁ B ₁и BC; (A ₁ BB ₁) и (CDC ₁).

 

20. СС₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (DCB);

B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁;

BB₁ и AC; A₁B и BC; (AA₁B)и DD₁C.

21. СA ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (CBD);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁;

BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (AA ₁ B)и (DCC ₁).

22. B ₁ C и DC ₁; DD ₁ и CC ₁; BC ₁ и (DD ₁ C ₁);

BB ₁ и DC; A ₁ B ₁ и BC; (A ₁ BB ₁) и (CDC ₁);

СА и (DCB); ВA ₁ и (DCB); D ₁ А ₁ и (DCB).

23. BB ₁ и AC; A ₁ B и BC; (AA ₁ B) и (DD₁C);

СС ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (DCB);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁.

24. BC ₁ и DC ₁; B ₁ C и (DD ₁ C ₁); A ₁ D ₁ и DC;

СС ₁ и (A CB); AA ₁ и (DCC₁); D ₁ C ₁ и (A CB);

BB ₁ и AC; A ₁ B и DC; (A ₁ BC) и (ADD ₁).

25. A ₁ B и BC; B ₁ C ₁ и DC ₁; A ₁ D ₁ и DC ₁;

СA ₁ и (DCB); AA ₁ и (DCB); D ₁ C ₁ и (CBD);

B ₁ C ₁ и (DD ₁ C ₁); BB ₁ и AC; (AA ₁ B)и (DCC ₁).

Задание 62. Дан куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁.

 

1. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой AB.

 

2. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AСB.

 

3. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой AD.

 

4. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости A ₁ AB.

 

5. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой A ₁ B ₁.

 

6. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AСD.

 

7. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой CD.

 

8. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AA ₁ B ₁.

 

9. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой B ₁ C _1.

 

10. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AA ₁ D ₁.

 

11. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой C ₁ D ₁.

 

12. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости BB ₁ C ₁.

 

13. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой B ₁ B.

 

14. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости ADD ₁.

 

15. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой D ₁ D.

 

16. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости DD ₁ C ₁.

 

17. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой A ₁ D ₁.

 

18. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости B ₁ C ₁ B.

 

19. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой CC ₁.

 

20. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости B ₁ C ₁ D ₁.

21. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой BA.

 

22. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости B B ₁ C.

 

23. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой B ₁ C ₁.

 

24. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости CB ₁ C ₁.

 

25. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой DA.

Задание 63. Решите расчетные задачи по теме «Прямая и плоскость.

 

1. Из данной точки на плоскость опущен перпендикуляр и проведены две наклонные. Одна наклонная на 6 см длиннее другой. Их проекции на плоскости соответственно равны 27 см и 15 см. Найти длину перпендикуляра.

 

2. Отношение длин двух отрезков, каждый из которых соединяет точки параллельных плоскостей, равно 2: 3. Эти отрезки с плоскостями составляют углы, отношение которых равно 2. Найти косинус большего из этих углов.

 

3. Угол между плоскостями α и β равен 60⁰. Расстояние от точки А на плоскости α до линии пересечения плоскостей равно 3. Найти расстояние от точки А до плоскости β.

 

4. Из одной точки плоскости проведены две наклонные, отношение длин которых равно 1: 2. Найти длины этих наклонных, если их проекции соответственно равны 1 и 7.

 

5. Из точки О пересечения диагоналей равнобедренной трапеции к плоскости трапеции восстановлен перпендикуляр ОМ длиной 15 см. Длина диагонали трапеции 12 см, при этом меньшее основание в два раза короче большего основания. На каком расстоянии от вершины большего основания находится точка М?

 

6. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через точки В и С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках B ₁ и C ₁соответственно. Найдите длину отрезка ВB ₁, если СC ₁= 15 см и АС: ВС = 2: 3.

 

7. Стороны треугольника 10, 17 и 21 см. Из вершины наибольшего угла восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника, длина которого 15 см. Найти расстояние от конца (не лежащего на плоскости) перпендикуляра до наибольшей стороны треугольника.

 

8. Плоскости α и β пересекаются под углом 45⁰. Расстояние от точки А на плоскости α до плоскости β равно 2. Найти расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей.

 

9. Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке О. Конец В отрезка отстоит от плоскости α на расстоянии 8. На каком расстоянии от плоскости находится конец А отрезка, точкой О отрезок АВ делится в отношении АО: ОВ = 3: 2?

 

10. Концы двух отрезков с длинами 10 и 15 см лежат на параллельных плоскостях. Чему равна проекция второго отрезка на одну из этих плоскостей, если проекция первого отрезка на эту плоскость равна ?

 

11. Катеты прямоугольного треугольника 12 и 16 см. Найти расстояние от точки, отстоящей от вершин треугольника на 26 см, до плоскости треугольника.

12. Через центр О квадрата АВСD проведен перпендикуляр OF к плоскости квадрата. Найти угол между плоскостями BCF и АВСD, если FB = 5, ВС = 6.

 

13. Из данной точки к плоскости проведены две наклонные, разность длин которых равна 6. Проекции наклонных на эту плоскость равны 27 и 15. Найти расстояние от данной точки до плоскости.

 

14. Через вершину В прямого угла треугольника АВС проведена прямая b, перпендикулярная плоскости треугольника. Найти расстояние между прямыми b и AD, если АВ = 3 и BD = 4.

15. Из одной точки к плоскости проведены две наклонные, отношение длин которых равно 3: 5. Найти длины этих наклонных, если их проекции соответственно равны и 17.

 

16. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью угол 45⁰, а между собой угол в 60⁰. Найти расстояние между концами наклонных.

 

17. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии b, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 30⁰ и 45⁰, а между собой прямой угол. Найти расстояние между концами наклонных.

 

18. Через вершину С прямого угла треугольника АВС проведена прямая а, перпендикулярная плоскости треугольника. Найти расстояние между прямыми а и AВ, если АС =15, BС = 20.

 

19. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 23 и 33 см. Найти расстояние от точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2: 3.

20. Из данной точки проведены перпендикуляр и две наклонные к прямой. Наклонные равны 41 и 50 см. Проекции наклонных на прямой относятся как 3: 10. Найти длину перпендикуляра.

 

21. Отрезок АВ пересекает плоскость α. Его концы отстают от плоскости на расстоянии 2 и 4 см. Найти угол между этим отрезком и плоскостью α, если проекция отрезка на плоскость равна 6 см.

22. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 13 и 37 см. Найти расстояние от точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 1: 7.

23. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 10 и 15 см. Найти проекцию второй наклонной на эту плоскость, если проекция первой равна 7 см.

 

24. Расстояния от точки А до граней прямого двугранного угла равны 5 и 12 см. Найти расстояние от точки А до ребра двугранного угла.

 

25. Из точки к плоскости проведены две наклонные, длины которых относятся как 5: 6. Найти расстояние от этой точки до плоскости, если соответствующие проекции наклонных равны 4 см и 4 см.

 

Тема 29. Многогранники

Задание 64. Найдите длины диагоналей, площадь диагонального сечения, площадь полной поверхности и объем куба, ребро которого равно а. Построить куб и развертку куба.

 

1. а = 2 м. 2. а = 20 см. 3. а = 3 см.

 

4. а = 10 м. 5. а = 15 см. 6. а = 13 см.

 

7. а = 2 м. 8. а = 5 см. 9. а = 6 см.

 

10. а = 2 м. 11. а = 11 см. 12. а = 14 см.

 

13. а = 4 м. 14. а = 7 см. 15. а = 9 см.

 

16. а = 2,5 м. 17. а = 2,4 см. 18. а = 1,3 см.

 

19. а = 12 м. 20. а = 21 см. 21. а = 16 см.

 

22. а = 4,2 м. 23. а = 18 см. 24. а = 3,1 м.

 

25. а = 25 м.

Задание 65. Найдите длины диагоналей, площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с. Построить развертку полной поверхности параллелепипеда.

 

1. а = 1 см, b = 3 см, с = 4 см. 2. а = 1 см, b = 3 см, с = 4 см.

 

3. а = 5 см, b = 7 см, с = 6 см. 4. а = 10 см, b = 3 см, с = 9 см.

 

5. а = 4 см, b = 8 см, с = 9 см. 6. а = 7 см, b = 4 см, с = 5 см.

 

7. а = 5 см, b = 9 см, с = 7 см. 8. а = 10 см, b = 4 см, с = 3 см.

 

9. а = 3 см, b = 3 см, с = 6 см. 10. а = 8 см, b = 2 см, с = 4 см.

 

11. а = 9 см, b = 8 см, с = 6 см. 12. а = 6 см, b = 3 см, с = 9 см.

 

13. а = 9 см, b = 7 см, с = 5 см. 14. а = 5 см, b = 6 см, с = 7 см.

 

15. а = 4 см, b = 8 см, с = 3 см. 16. а = 3 см, b = 4 см, с = 5 см.

 

17. а = 5 см, b = 1 см, с = 6 см. 18. а = 2 см, b = 3 см, с = 4 см.

 

19. а = 8 см, b = 8 см, с = 5 см. 20. а = 5 см, b = 6 см, с = 7 см.

 

21. а = 2 м, b = 4 м, с = 2 м. 22. а =16 см, b =4 см, с = 5 см.

 

23. а = 9 м, b = 1 м, с = 6 м. 24. а = 6 см, b = 3 см, с = 7 см.

 

25. а = 1 м, b = 8 м, с = 4 м.

 

Задание 66. Найти площадь полной поверхности и объем правильной треугольной призмы, у которой каждое ребро равно a. Построить развертку полной поверхности призмы.

 

1. а = 2 см. 2. а = 20 см. 3. а = 3 см.

 

4. а = 10 м. 5. а = 15 см. 6. а = 13 см.

 

7. а = 2,5 см. 8. а = 5 см. 9. а = 6 см.

 

10. а = 7 см. 11. а = 11 см. 12. а = 14 см.

 

13. а = 4 м. 14. а = 40 см. 15. а = 9 см.

 

16. а = 2,5 м. 17. а = 2,4 см. 18. а = 1,3 см.

 

19. а = 12 м. 20. а = 21 см. 21. а = 16 см.

 

22. а = 4,2 см. 23. а = 18 см. 24. а = 3,1 см.

 

25. а = 25 м.

 

Задание 67. Найдите апофему, высоту, площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно a. Построить пирамиду и развертку полной поверхности пирамиды.

 

1. а = 22 см. 2. а = 20 см. 3. а = 3 см.

 

4. а = 10 м. 5. а = 15 см. 6. а = 13 см.

 

7. а = 14 см. 8. а = 5 см. 9. а = 6 см.

 

10. а = 20 см. 11. а = 11 см. 12. а = 2,4 см.

 

13. а = 4 м. 14. а = 7 см. 15. а = 9 см.

 

16. а = 2,5 м. 17. а = 2,4 см. 18. а = 1,3 см.

 

19. а = 12 см. 20. а = 21 см. 21. а = 16 см.

 

22. а = 4,2 см. 23. а = 18 см. 24. а = 3,1 м.

 

25. а = 25 м.