Основные элементарные функции и их графики

Степенная функция у = х^α, где где α – действительное число. Например,

 

 

 

Показательная функция , где a >0, a ≠ 1.

 

 

Логарифмическая функция , где a >0, a ≠ 1.

 

Тригонометрические функции .

 

 

 

Обратные тригонометрические функции

 

Производные основных элементарных функций

 

1. . 2. .

 

3. . 4. .

5. . 6. .

 

7. . 8. .

 

9. . 10. .

 

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

 

 

Основные правила дифференцирования

 

1. . 2. .

3. . 4. ,

 

где С – постоянная величина и функции и имеют производные.

 

Свойства неопределенных интегралов

 

1. .

2. .

3. , где .

4. ,

где , С – произвольная постоянная.

 

Таблица основных интегралов

 

1. .

2. .

3. , где п ≠-1.

4. .

5. , где а >0, а ≠1.

6. .

7. .

 

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. , где а ≠0.

15. , где -1< x <1.

16. .

17. .

18. , где а ≠0.

19. , где а ≠0.

Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

,

где .

Свойства определенного интеграла

1. .

2. , где .

3. .

4. .

5. + , где .

 

6. Если на отрезке и , то .

 

Площадь плоской фигуры

где у = f₂ (x), y = f ₁(x) – уравнения верхней и нижней границ фигуры; х = а, х = b – уравнения левой и правой границ фигуры.

Формулы комбинаторики

 

Классическое определение вероятности:

,

где m – число благоприятных исходов опыта; n – число всех равновозможных исходов

 

 

Относительная частота события:

Р *(А) = ,

где m – число наступлений события А; n – число всех проведенных испытаний

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Р (А₁+А₂+…+А_n) =Р (А₁) +Р (А₂) +…+Р (А_n).

Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий:

Р (А .

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий:

Вероятность противоположного события:

Вероятность появления хотя бы одного из событий:

P (A +A +A…+A ) = 1– P ( ) P ( ) ).

Треугольник

 

a, b, с – длины сторон треугольника;

h – высота треугольника;

γ – угол между сторонами a и b;

r – радиус вписанной окружности;

R – радиус описанной окружности;

– периметр треугольника;

– полупериметр треугольника;

– площадь треугольника;

 

– формула Герона;

 

– площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними;

– площадь треугольника по тремсторонам и радиусу описанной окружности;

 

– площадь треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности.

Прямоугольный треугольник

 

a, b – катеты; c – гипотенуза;

 

– теорема Пифагора;

 

– площадь прямоугольного треугольника;

; ; – соотношения в прямоугольном треугольнике;

– радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности.

Равносторонний треугольник

, – радиусы вписанной и описанной окружностей;

– площадь равностороннего треугольника.
Прямоугольник

a, b – длины сторон прямоугольника;

 

– диагональ прямоугольника;

 

– периметр прямоугольника;

S = a · b – площадь прямоугольника.

 

Квадрат

a – длина стороны квадрата;

 

– длина диагональ квадрата;

 

– периметр квадрата;

S = a ² , – формулыплощади квадрата.

Параллелограмм

 

a, b – длины сторон параллелограмма;

 

h – длина высоты параллелограмма;

 

– площадь параллелограмма;

– площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.

 

Ромб

 

a – длина стороны ромба;

h – длина высоты ромба;

α – угол между сторонами ромба;

d ₁, d ₂ – длины диагоналей;

 

– площадь ромба;

 

, – формулы площади ромба.

Трапеция

 

a, b – длины оснований трапеции;

c, d – длины боковых сторон трапеции;

h – длина высоты трапеции;

 

– периметр трапеции;

– площадь трапеции.

 

Окружность и круг

r – радиус круга, окружности;

 

d – диаметр круга, окружности;

 

, – формулы площади круга;

 

– длина окружности.

Свойства вписанных, описанных фигур

 

Описанная вокруг треугольника ABC окружность имеет центр в пересечении перпендикуляров к серединам сторон.

 

 

 

Четырехугольник можно вписать в окружность, если суммы его противоположных углов равны 180⁰.

 

Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин его противоположных сторон равны.

Куб

 

a – ребро куба;

– диагональ куба;

– площадь одной грани куба;

– площадь полной поверхности куба;

– объем куба.

Прямоугольный параллелепипед

 

 

a – длина основания;

b – ширина основания;

h – высота параллелепипеда;

– диагональ параллелепипеда;

– площадь основания;

– объем прямоугольного параллелепипеда.

Призма

 

 

h – высота призмы;

– площадь полной поверхности призмы;

– объем призмы.

 

 

Пирамида

 

 

h – высота пирамиды;

 

– площадь полной поверхности пирамиды;

 

– объем пирамиды.

Усеченная пирамида

 

 

h – высота усеченной пирамиды;

– площадь нижнего основания пирамиды;

– площадь верхнего основания пирамиды;

 

+ – площадь полной поверхности усеченной пирамиды;

 

– объем усеченной пирамиды.

Цилиндр

 

 

R – радиус основания цилиндра;

h – высота цилиндра;

– площадь основания;

– площадь полной поверхности цилиндра;

– объем цилиндра.

 

Конус

 

 

R – радиус основания;

h – высота конуса;

l – образующая конуса;

– площадь основания конуса;

– площадь боковой поверхности конуса;

– объем конуса.

Усеченный конус

 

 

R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота усеченного конуса;

l – образующая конуса;

– площадь нижнего основания конуса;

– площадь верхнего основания конуса;

– площадь боковой поверхности;

– объем конуса.

 

Шар, сфера

 

 

R – радиус шара, сферы;

– площадь сферы;

– объем шара.