Тема 25. События и их вероятности

 

Задание 55. Пользуясь классическим определением, найти вероятности событий.

 

1. Абонент забыл две последние цифры номера и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

2. В районе 10 магазинов, из которых 4 – продовольственные и 6 – промтоварные. Ревизоры решили проверить 5 магазинов. Какова вероятность того, что среди них оказалось 3 продовольственных и 2 промтоварных магазина?

3. Студент знает 40 вопросов из 50. В билете 2 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает оба вопроса.

4. Из 10 деталей 6 стандартных. Какова вероятность того, что из 6 отобранных деталей 4 нестандартных?

5. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 50. Найти вероятность того, что номер первого извлеченного наудачу жетона не содержит цифры 3.

6. В урне 6 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут черными.

7. Найти вероятность того, что при бросании 3-х игральных костей сумма выпавших очков равна 9.

8. Служебный телефон имеет номер из 3-х цифр. Какова вероятность, не зная номера, набрать его правильно, если известно, что сумма цифр делится на 3?

9. В партии, состоящей из 20 изделий, имеется 5 дефектных. Из партии выбирается для контроля 3 изделия. Найти вероятность того, что из них ровно 2 будут дефектными.

10. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди них будут 5 отличников.

11. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

12. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших на них очков меньше 10.

13. В лотерее 1000 билетов, из них половина выигрышных. Куплено два билета. Какова вероятность того, оба билета выигрышные?

14. Подброшены одновременно две игральных кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет нечетной?

15. Из пяти различных фамилий случайным образом составлен список. Найти вероятность того, что фамилии расположились в алфавитном порядке.

16. Талоны занумерованы всеми двузначными числами. Из пачки наудачу берут один талон. Какова вероятность того, что номер талона состоит из одинаковых цифр?

17. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

18. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что все они одного цвета?

19. Среди 20 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрываются 7 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

20. Какое событие наиболее вероятно при подбрасывании двух игральных костей: сумма выпавших очков больше 6 или сумма выпавших очков меньше 6?

21. В урне 4 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут черными, а три белыми.

22. В магазин поступило 20 одинаковых пачек с тетрадями в клетку и линейку, причем из них 8 пачек с тетрадями в линейку. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу взятых пачек 3 окажутся с тетрадями в линейку.

23. Имеется 4 пары перчаток разных размеров. Наудачу берут две перчатки. Какова вероятность того, что они будут одного размера?

24. Подбрасываются три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет не более пяти.

25. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что все они разных цветов?

Задание 56. Найти вероятности событий, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Вероятность получить отличную оценку на первом экзамене равна 0,1; на втором – 0,2; на третьем – 0,6. Какова вероятность стать отличником?

2. Производится залп из трех орудий. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,9; из второго – 0,4; из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что будет только два попадания в цель.

3. Подбрасывают три искривленные монеты. Вероятность выпадения герба на первой – 0,2; на второй – 0,8; на третьей – 0,6. Найти вероятность того, что выпадет хотя бы один герб.

4. Вероятность повышения цен в декабре равна 0,1, в январе – 0,9, в феврале – 0,3. Найти вероятность того, что в течение зимы повышение цен будет только в одном месяце.

5. Вероятность погашения долга в установленный срок предприятием №1 равна 0,9, предприятием №2 – 0,6, предприятием №3 – 0,7. Какова вероятность того, что точно два предприятия из трех погасят долг в установленный срок. Погашение долгов рассматривать как независимые события.

6. Вероятность выплаты дивидендов за текущий год для первого предприятия равна 0,3, для второго предприятия равна 0,2, для третьего предприятия – 0,08. Какова вероятность того, что хотя бы одно предприятие выплатит дивиденды? Выплаты дивидендов рассматривать как независимые события.

7. Для некоторого студента вероятность не сдать в сессию первый экзамен равна 0,3, второй – 0,2, третий – 0,1. Какова вероятность сдать сессию без задолженностей?

8. Три спортсмена идут на выполнение нормативов мастера спорта. Вероятность того, что первый выполнит норматив – 0,8; второй – 0,9; третий – 0,6. Найти вероятность того, что только один выполнит норматив.

9. Производится залп из трех орудий. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,5; из второго – 0,6; из третьего – 0,9. Найти вероятность того, что будет только два попадания в цель.

10. От аэровокзала отправились 3 автобуса–экспресса к трапам самолетов. Вероятность своевременного прибытия первого – 0,9; второго – 0,8; третьего – 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один автобус прибудет вовремя.

11. Подбрасывают три искривленные монеты. Вероятность выпадения герба на первой монете равна 0,3; на второй – 0,9; на третьей – 0,6. Найти вероятность того, что выпадет хотя бы один герб.

12. Вероятность того, что 1-й магазин выполнит годовой план, равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,6. Найти вероятность того, что только один магазин выполнит план.

13. Вероятность того, что первая автобаза допустит перерасход бензина, равна 0,1; вторая – 0,3; третья – 0,2. Найти вероятность того, что перерасход будет на двух автобазах.

14. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй – 0,9. Найти вероятность того, что сигнализация сработает при аварии.

15. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта – 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.

16. Вероятность предоставления кредита первым банком равна 0,7; вторым – 0,8; третьим – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из этих трех банков предоставит кредит.

17. Вероятность снижения цен в предпраздничные дни первым магазином равна 0,9; вторым – 0,6; третьим – 0,5. Найти вероятность того, что цены будут снижены только в двух из этих магазинов.

18. Вероятность повышения цен в декабре равна 0,5, в январе – 0,8, в феврале – 0,2. Найти вероятность того, что в течение зимы повышение цен будет только в одном месяце.

19. Три частных предпринимателя представили в налоговую инспекцию декларации о доходах. Вероятность неправильного заполнения декларации для первого предпринимателя равна 0,1; для второго – 0,2; для третьего – 0,05. Найти вероятность того, что все предприниматели заполнили декларации правильно.

20. Вероятность изменения процентной ставки по вкладам в некотором банке в январе равна 0,6; в феврале – 0,5; в марте – 0,2. Найти вероятность того, что в течение первого квартала процентная ставка изменяться не будет.

21. Вероятность получить отличную оценку на первом экзамене равна 0,5; на втором – 0,3; на третьем – 0,6. Какова вероятность стать отличником?

22. Для некоторого студента вероятность не сдать в сессию первый экзамен равна 0,1; второй – 0,2; третий – 0,3. Какова вероятность сдать все экзамены?

23. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,9. Стрелки сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что только один из них поразил цель.

24. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,06; 0,05 и 0,08. Найти вероятность того, что при работе откажут только два элемента.

25. Три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Вероятности попадания мяча в корзину первым, вторым и третьим баскетболистами соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что удачно произведет бросок только один из баскетболистов.