Теоремы умножения вероятностей

 

Произведением (или пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в осуществлении и события А, и события В, т.е. С = А ^. В.

Вероятность события А, найденная в предположении, что событие В наступило, называется условной вероятностью события А относительно события В: P .

Пример. В урне 4 белых и 3 черных шара. Вынимают последовательно 2 шара. Найти вероятность того, что 2 шар черный, при условии, что 1 шар черный.

Событие А – 1 шар черный, событие В – 2 шар черный. P (B) -?

Если произошло А, то осталось 6 шаров (4+2),

Теорема. Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно первого:

Доказательство. Пусть из общего числа n случаев событию А благоприятствуют m случаев, k случаев благоприятствуют событию В. Пусть l случаев благоприятствует и событию А и событию В. Тогда , а условная вероятность события В относительно события А есть Р ,т.к. вместо n случаев остается возможным m случаев (событие А произошло). Тогда

Пример. Среди 25 лампочек 4 нестандартные. Найти вероятность того, что 2 взятые одновременно лампочки окажутся нестандартными.

Событие А – первая лампочка нестандартная, событие В – вторая лампочка нестандартная.

P(A) = . Тогда .

 

События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется при наступлении другого, т.е. P . Иначе – зависимые события.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равно произведению их вероятностей .

Пример. Из двух орудий стреляют по цели. Вероятность попадания первого – 0,9, второго – 0,8. Из орудий делают одновременно по одному выстрелу. Найти вероятность того, что будет два попадания в цель.

Событие А – первое попало, В – второе попало. События A и B независимые, поэтому

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n независимых событий, либо некоторые из них, либо ни одного события. Считаем вероятности появления каждого из событий известными и равными . Тогда вероятности противоположных событий обозначим . Появление хотя бы одного события – это появление одного, двух,.., n событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: .

Пусть А – появление хотя бы одного из событий . События А и (ни одно из событий не произошло) – противоположные, поэтому . По теореме умножения .

Следствие. Если события имеют одинаковую вероятность р, то вероятность появления хотя бы одного события

Пример. Вероятность попадания в мишень для трех стрелков 0,6; 0,7; 0,8 соответственно. Найти вероятность хот бы одного попадания при одном залпе.

Пусть – попал в мишень первый, второй и третий стрелок. Событие А – хотя бы одно попадание в мишень. Тогда

 

Теорема сложения вероятностей

Суммой или объединением А и В называется событие С, состоящее в наступлении события А, или события В или событий А и В вместе: С = А + В.

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Докажем для двух событий. Пусть из общего числа n случаев событию А благоприятствует k случаев, а событию В – l случаев. Тогда

По условию, события А и В несовместимы. Следовательно, ни один из k случаев, благоприятствующих А, не благоприятствует В. Сумме А + В благоприятствует k + l случаев из n, поэтому Методом математической индукции теорему можно обобщить на произвольное число несовместных событий.

Теорема. Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: .

Для доказательства следует рассмотреть диаграмму Виена.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Событие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е.

 

Формула полной вероятности

 

Пусть событие А может произойти в результате появления одного и только одного события Н из некоторой полной группы несовместных событий (полная система). Н обычно называют гипотезами.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить при появлении одной из гипотез Н , равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез на соответствующие условие вероятности данного события А, т.е. .

Доказательство. Событие А равносильно тому, что произойдет А и Н , либо А и Н , либо А и Н ,…, либо А и Н . Тогда по теоремам сложения (несовместных событий) и умножения

Пример. На конвейер поступает продукция трех станков (50% – I, 30% – II, 20% – III). Брак составляет для первого станка 2%, для 2^го – 3%, для 3^го – 5%. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь будет доброкачественной.

Событие А – деталь доброкачественная. Возможны гипотезы: Н , Н , Н – взятое изделие изготовлено на I, II, III станках. P – вероятность взять доброкачественное изделие, изготовленное 1^м станком: P = 1–0,02 = 0,98, аналогично, , P = 1–0,05 = 0,95. Вероятности гипотез даны по условию: P (H , P (H , P (H .

По формуле полной вероятности:

21.9. Формула Байеса (Бейеса)

 

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н , Н , …, Н , вероятности которых P (H известны до опыта. Производится опыт, в результате которого зарегистрировано событие А. Известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятности P . Какими стали вероятности этих гипотез после опыта? Поскольку событие А произошло, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление А. По новой информации надо переоценить вероятности гипотез, т.е. определить .

По теореме умножения вероятностей: .

(i = 1,…, n). Это – формула Байеса, где – вероятность появления события А.

Пример. Вероятность поражения цели при одном выстреле для первого орудия – 0,2, для второго – 0,1. Каждое орудие произвело по одному выстрелу, одно попало в цель. Какова вероятность, что удачный выстрел совершило первое орудие?

Событие А – попадание в цель. Гипотеза Н - оба орудия попали в цель; Н ₂ – 1 не попало, 2 попало (НП); Н ₃ – 1 попало, 2 не попало (ПН); Н ₄ – оба не попали (НН). Поскольку события независимые: (.

, т.е. гипотезы Н и Н ₄ – отпали. По формуле Байеса:

– вероятность того, что попало второе орудие; – вероятность того, что попало первое орудие.