Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты

Среднее квадратичное отклонение случайной величины Х – это корень квадратный из дисперсии: .

Размерность дисперсии равна квадрату размерности Х, тогда как размерность s(Х) равна размерности Х. Во многих случаях это оказывается удобнее.

Пусть – независимые случайные величины, тогда . По свойству дисперсии: , тогда

.

 

Начальные и центральные теоретические моменты

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины : Например, , , ,…

.

Центральным моментом порядка k называется математическое ожидание величины : , например, , и т.д.

Мода и медиана. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для дискретных величин) или то значение, в котором плотность вероятности максимальна. Если имеется более одного максимума, то распределение называют полимодальным.

Медианой называют такое значение случайной величины (обычно – непрерывной), для которого Геометрически – абсцисса точки, в которой площадь делится пополам.

 

Функция распределения вероятностей случайной величины

 

Дискретная случайная величина может быть задана перечислением всех ее возможных значений и их вероятностей – законом распределения. Но его нельзя использовать для задания непрерывных случайных величин. Необходим общий способ задания случайных величин - это функция распределения вероятностей случайных величин.

Пусть x – действительное число. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше x, т.е. Р (X<x) обозначим через F (x). Если x изменяется, то изменяется и F (x), т.е. F (x) – функция х.

Функцией распределения называют функцию F (x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е. F (x)= P (X<x). Геометрически F (x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается точкой левее точки х.

Добавим более четкое определение непрерывной случайной величины – случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

 

Свойства F (x)

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1], т.е. 0 £ F (x)£ 1 – F (x) вероятность, 0 £ P (A) £ 1.

2. F (x) неубывающая функция, т.е. F () ³ F (), если > .

Доказательство:

Пусть > . Событие, состоящее в том, что Х примет значение меньше , можно разделить на 2 несовместных события:

1. Х примет значение, меньше , с вероятностью Р ( < );

2. Х примет значение £ < с вероятностью P ( £ < ).

По теореме сложения: Р ( < ) = Р ( < x ₁) + P ( £ < ),

отсюда Р ( < ) – Р ( < ) = P ( £ < x ₂) или F () – F () = P ( £ < ), но .

Следствие 1. Вероятность того, что равна приращению F (x) на этом интервале: Р () = F (b) – F (a) ( =b, x ₁ =a).

Следствие 2. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значение равна 0.

Р (a £ Х < b) = Р (a < Х < b) = Р (a < x £ b) = Р (a £ x £ b).

3. Если возможные значения случайной величины Î (a, b), то: 1) F (x)= 0 при x £ a;

2) F (x) = 1 при x >b.

Докажем. Если £ a, то события X<x невозможны. Пусть ³ b, тогда X< – достоверное событие.

Следствие. Если значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то .

 

Плотность распределения вероятностей непрерывной

Случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать функцией распределения, однако можно использовать и плотностью распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют производную от функции распределения:

Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равно , т.е. Р (a < Х < b) = .

Доказательство:

Если известна функция распределения, то Р (a £ X £ b) = F (b) – F (a). По формуле Ньютона-Лейбница: F (b) – F (a) = = , а Р (a £ X £ b) = Р (a < X < b).

Пример. Дана плотность вероятности:

.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение Î (0,5; 1).

Р (0,5 < X < 1) = = 0,75.

Функцию распределения можно найти по плотности распределения: F (x) = . Действительно, F (x) = P (X < x) или F (x) = P (–¥ < X < x), тогда .

По известной функции распределения можно найти плотность: .

Пример. Найти F(x), если .

Если x £ a, f (x) = 0, то , если : . Если , то .

Свойства f (x)

1. f (x) ³ 0, т.к. F (x) – неубывающая функция, поэтому, ³ 0.

2. =1. Этот интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение (–µ;µ) – достоверное событие, поэтому р = 1.

Вероятностный смысл , тогда:

– вероятность того, что случайная величина примет значение .