Дискретной случайной величины

На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассмотренном испытании.

Например, число мальчиков, родившихся в Белгороде завтра, может быть различным: 0,1,2,3,4,…, n. Или – дальность полета снаряда, количество бракованных изделий в партии и т.д. Это – случайные величины.

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения, причем для каждого испытания она принимает единственное значение.

Случайные величины обозначают заглавными буквами X, Y, Z,…, значения случайных величин соответственно малыми буквами.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетное. Например, стрельба по мишеням из орудия до первого попадания (1,2,3,…, n, ¥). Или – количество бракованных деталей в партии из 30 изделий.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного (или бесконечного) промежутка.

Пусть Х – дискретная случайная величина, возможными и единственными значениями которой являются х ₁, х ₂, х ₃,…, х_n. Обозначим через вероятность этих значений, т.е. р_i есть вероятность того, что Х принимает значения x_i. События Х = х_i образует полную группу, поэтому =1.

Закон распределения дискретных случайных величин – соответствие между всеми значениями дискретных случайных величин и их вероятностями. Обычно его записывают в виде таблицы:

Значение (Х)	x 1	x 2	…	xn
Вероятность значения (р)	p 1	p 2	…	pn

Если множество x_i – бесконечно, то ряд - сходится.

Пример. Устройство состоит из 3 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Возможные значения Х: x ₁=0, x ₂=1, x ₃=2, x ₃=3. Их вероятности определим по формуле Бернулли: , , , ( – проверка).

X
p	0,729	0,243	0,027	0,001

 

Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое

Распределения

Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р. В качестве дискретной случайной величины Х рассмотрим число появления события А в этих испытаниях. Х может принимать значения 0,1,2,3,4,…, n с вероятностями, определенными по формуле Бернулли:

Полученная формула является аналитическим выражением биноминального закона распределения, т.е. биноминальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Запишем в виде таблицы:

Х			…	m	…	n
р			…

Пример. Монета бросается два раза. Написать закон распределения дискретной случайной величины – числа появлений «герба».

р = 0,5, q = 0,5,

Х
Р	0,25	0,5	0,25

 

Геометрическое распределение

 

Пусть проводятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А, т.е. если событие появилось в k – ом испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось. Пусть Х – дискретная случайная величина – число испытаний, которое нужно провести до появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа: Пусть событие А появилось в k – ом испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось. Вероятность этого события найдем по теореме умножения: , где q =1– p – вероятность не появления события А. Полагая k = 1, 2, 3, …, получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q. По этой причине распределение называют геометрическим. Запишем в виде таблицы.

Х				…	k	…
р	р			…		…

Очевидно, что

Пример. Преподаватель задает дополнительные вопросы до первого неправильного ответа. Составить закон распределения случайной дискретной величины Х – числа дополнительных вопросов, если вероятность правильного ответа на вопрос равна 0,9.

и т.д. Получаем:

Х				…	k	…
р	0,9			…		…