Интервальные оценки для генеральной средней

 

При выборке малого объема точечная оценка может сильно отличаться от оцениваемого параметра, поэтому широко используют интервальные оценки. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Доверительной вероятностью (надежностью) называется вероятность g, с которой осуществляется неравенство , т.е. , где Q* – найденная характеристика параметра Q. Надежность g обычно выбирается 0,95; 0,99; 0,999 и т.д.

 

Интервальные оценки для генеральной средней с известным s

 

Пусть известно среднее квадратическое отклонение s генеральной совокупности с нормальным законом распределения. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину , для которой ( – случайная величина, т.к. меняется от выборки к выборке).

Тогда по следствию интегральной теоремы Лапласа имеем: , где , – точность оценки.

Число определяем по таблице значений функции Лапласа: . Получаем: , – интервальная оценка для математического ожидания а.

Пример. Случайная величина имеет нормальное распределение с s =3. Найти доверительный интервал для оценки генеральной средней а, если , надежность g = 0,95.

Найдем t: функция Лапласа , , точность: ,

 

Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s

 

Пусть признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Для построения интервальной оценки используется статистика , имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Получаем: где n – объем выборки, –исправленное среднее квадратическое отклонение, – выборочная средняя, – уровень значимости, находим по распределению Стьюдента (t – распределение) (для двухсторонней критической области). Точность оценки: . Можно по таблице приложения 3 Гмурмана.

Пример. Средняя урожайность пшеницы на 16 опытных участках =25 ц/га, а ц/га. Найти с надежностью 0,9 границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.

Число степеней свободы , , по таблице распределения Стьюдента находим: . Точность оценки: ; тогда (ц/га).

 

Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли

Пусть из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону , взята выборка объема n и вычислена исправленная выборочная дисперсия . Требуется определить с надежностью g интервальные оценки для s ² и s.

Случайная величина имеет распределение Пирсона ()с степенями свободы. Имеем: .

По таблице - распределения нужно выбрать такие и , чтобы площадь, заключенная под графиком плотности распределения между и , была равна . Обычно: .

Тогда: Поскольку таблица содержит лишь , то тогда из

: , т.е. Эта формула используется при решении обратной задачи – нахождение доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии. и находим из равенств: Запишем неравенство из : и преобразуем его: .

Если , то доверительный интервал для s: . Если , то , где определяется по таблице функции Лапласа:

Можно по упрощенной формуле (Гмурман): , где параметр находят по таблице приложения 4 (Гмурман) по заданным n и g.

Пример. По результатам контроля n = 9 деталей вычислено мм. В предположении, что ошибка распределена нормально, определить при g = 0,95 доверительный интервал для s.

; .

По таблице для , , (мм).

 

 

Интервальная оценка для генеральной доли

 

Пусть в n независимых испытаниях событие А, вероятность появления которого равна р, имело место m раз ( ), тогда границы доверительного интервала для генеральной доли: , где определяется по таблице Лапласа:

Пример. При испытании зерна на всхожесть из 400 зерен проросло 384. С надежностью g = 0,98 определить доверительный интервал для генеральной доли р.

, (Лаплас), , точность оценки: ; .

 

Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез