Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть проведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла раз значение , раз значение , …, раз – , Тогда сумма всех значений, принятых Х равна . Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний n:

где - относительная частота (частость).

Допустим, что число испытаний достаточно велико, тогда и

Таким образом, математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

 

Свойства М (Х)

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. М (С) = С, С = const.

С имеет одно значение, равное С,с вероятностью p = 1, М (С) =С ^. 1 = С.

Определим произведение постоянной С на Х как дискретную случайную величину , возможные значения которой равны произведениям С на возможные значения Х. Вероятность равна вероятностям Х. Например, если имеет вероятность , то имеет также вероятность .

2. М (СХ) = С ^. М (Х) – константу можно выносить за знак математического ожидания. Пусть случайная дискретная величина X задана законом распределения:

 

		…
		…

Тогда имеет закон распределения:

		…
		…

Случайные величины X и Y называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая.

Произведение – случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y. Вероятности XY равны произведению соответствующих вероятностей X и Y.

3. , где X, Y – независимые дискретные случайные величины.

Пусть законы распределения вероятностей этих величин:

 

 

Составим значения, которые могут принимать Закон распределения:

4. M (X+Y) = M (X) + M (Y).

Возможные значения случайной величины X + Y равна сумме возможных значений X и Y, а вероятность X+Y равна произведению вероятностей слагаемых.

Теорема. М (Х) числа появлений событий А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании p.

Иначе, М (Х) биноминального распределения равно .

 

Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства

Легко указать случайные величины, имеющие одинаковые значения математических ожиданий, но различные возможные значения, например:

	–0,1	0,1				–10
	0,5	0,5				0,5	0,5

Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от М (Y), таким образом, М (Х) полностью не характеризует Х. Надо охарактеризовать отклонение случайной величины от M (X): отклонение – это величина X – M (X).

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю.

Действительно, , поэтому для оценки отклонения берут квадрат отклонения.

Дисперсией (рассеянием) дискретных случайных величин называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: .

Получаем:

Пример. Найти случайной величины:

	0,3	0,5	0,2

M (X) = 1 ^. 0,3 + 2 ^. 0,5 + 5 ^. 0,2 = 2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения: = (1 – 2,3)² = 1,69; = (2 – 2,3)² = 0,09;

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

	1,69	0,09	7,29
	0,3	0,5	0,2

Тогда (по определению): = 1,69 ^. 0,3 + 0,09 ^. 0,5 + 7,29 ^. 0,2 = 2,01.

Удобнее: .

Доказательство:

.

Вычислим дисперсию в предыдущем примере по доказанной формуле. Составим закон распределения :

	0,3	0,5	0,2

Тогда = 1 ^. 0,3 + 4 ^. 0,5 + 25 ^. 0,2 = 7,3. Найдем :

 

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равной нулю. D (C) = 0.

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

Если |C| > 1, то величина СХ имеет большие (по модулю) значения, поэтому D (CX)> D (X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D (X+Y) = D (X) + D (Y). Докажем:

Следствие: D (X+C) = D (X) + D (C) = D (X), С = const.

4. D (X – Y) = D (X) + D (Y). Докажем: D (X–Y) = D (X) + D (–Y) = D (X) + (–1)² D (X) = = D (X) + D (Y).

Теорема. Дисперсия числа появлений событий А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А p = const, равна npq = D (X),где .

Иначе. Дисперсия биноминального распределения равна D (X)= npq.