Определение функции распределения длительности ожидания

 

Если в момент поступления требования в очереди уже находились k-m требований, то, поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены k-m+ 1 требований. Пусть означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего требования закончилось обслуживание ровно s требований. Ясно, что при имеет место равенство

 

 

Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и не зависящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания (т.е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна

 

 

Если все приборы заняты обслуживанием и ещё имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия – стационарность, отсутствие последействия и ординарность – выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)

 

 

Итак,

 

 

и, следовательно,

 

Но вероятности известны:

 

 

поэтому

 

Очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду

 

=

.

 

Из формул (18) и (19) следует, что поэтому при m>0

 

(22)

 

Само собой разумеется, что при t<0

 

 

Функция имеет в точке t=1 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.

 

Средняя длительность ожидания

 

Формула (22) позволяет находить все интересующие числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

 

 

Несложные вычисления приводят к формуле

 

(23)

 

Дисперсия величины равна

 

 

Формула (23) даёт среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в систему поступает требований и среднем; общая потеря ими времени па ожидание в среднем равна

(24)

 

Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т =1 и т=2.

При т =1 в силу (20)

 

 

При р=0,1; 0,4; 0,6; 0,9 значение а приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,9; 8,100.

При m=2 в силу (24)

 

 

При =0,1; 0,9; 1,3; 1,8 значение а приблизительно равно 0,00025; 0,229; 0,951; 7,674.

Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания.

Пример практического решения задачи

 

Автозаправочная станция представляет собой СМО с 2 каналами обслуживания (двумя колонками).

Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно (m=3). Если в очереди уже находятся три машины, очередная машина прибывшая к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывший для заправки, имеет интенсивность λ=1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.

Определить:

· Вероятность отказа

· Относительную и абсолютную пропускную способности АЗС

· Среднее число машин, ожидающих заправки

· Среднее число машин находящихся на АЗС (включая обслуживаемые)

· Среднее время ожидание машины в очереди

· Среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание)

Решение:

Находим вначале приведенную интенсивность потока заявок:

 

 

Вероятность отказа

Относительная пропускная способность СМО

 

 

Абсолютная пропускная способность СМО

 

 

Среднее число машин, ожидающих в очереди

 

 

т.е. среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку равно 0,565

Прибавляя к этой величине среднее число машин, находящихся под обслуживанием

 

 

Получаем среднее число машин связанных с АЗС

Среднее время ожидания машины в очереди

 

 

Прибавляем к этой величине

 

 

Получим среднее время, которое машина проводит на АЗС

 

Заключение

 

В этой контрольной работе раскрыты понятия приводящие к системе массового обслуживания, а именно: обслуживание, обслуживает прибор система обслуживания, система массового обслуживания.

Также описаны типичные элементы, из которых состоят системы массового обслуживания (входящий поток, его описание и основные особенности, очередь и ее дисциплина, обслуживающие приборы и особенности механизма обслуживания, входящий поток).

Что касается практического задания, то рассмотренное данной задачей автозаправочная станция является СМО с ожиданием. На её примере я определил: вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную способности АЗС, среднее число машин, ожидающих заправки, среднее число машин находящихся на АЗС (включая обслуживаемые), среднее время ожидание машины в очереди, среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).

Список используемой литературы

1. Е.В. Бережная, В.И. Бережной. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Математическое моделирование систем связи: учебное пособие / К.К. Васильев, М.Н. Служивый. – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – 170 с.

Размещено на Allbest.ru