Процесс обслуживания как марковский случайный процесс

 

В указанных нами предположениях о потоке требований и о длительности обслуживания задачи теории массового обслуживания приобретают некоторые черты, облегчающие проведение исследований. Мы отмечали уже вычислительную простоту. Теперь отметим более принципиальное соображение, которое станем развивать применительно к изучаемой задаче.

В каждый момент рассматриваемая система может находиться в одном из следующих состоянии: в момент t в системе находятся k требовании (k=0, 1, 2,…). Если k rn, то в системе находятся и обслуживаются k требований, а m-k – приборов свободны. Если k m, то m требований обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Обозначим через состояние, когда в системе находятся k требований. Таким образом, система может находиться в состояниях … Обозначим через – вероятность того, что система в момент t окажется в состоянии .

Сформулируем, в чем заключается особенность изучаемых нами задач в сделанных предположениях. Пусть в некоторый момент наша система находилась и состоянии . Докажем, что последующее течение процесса обслуживания не зависит в смысле теории вероятностей от того, что происходило до момента . Действительно, дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами:

моментами окончания обслуживаний, производящихся в момент ;

моментами появления новых требований;

длительностью обслуживания требований, поступивших после .

В силу особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента . Так как поток требований простейший, то прошлое не влияет на то, как много требований появится после момента . Наконец длительность обслуживания требований, появившихся после , никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента .

Известно, что случайные процессы, для которых будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом, называются процессами Маркова или же процессами без последействия. Итак, система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова. Это обстоятельство облегчает дальнейшие рассуждении.

 

Составление уравнений

 

Задача теперь состоит в том, чтобы найти те уравнения, которым удовлетворяют вероятности . Одно из уравнения очевидно, a именно для каждого t

(2)

 

Найдём сначала вероятность того, что и момент t +h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:

· в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;

· в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.

Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена – имеют вероятность о(h), как легко в этом убедится.

Вероятность первого из указанных событий равна

 

,

 

вероятность второго события

 

.

 

Таким образом

 

.

 

Отсюда очевидным образом приходим уравнению

Перейдём теперь к составлению уравнений для при 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 и . Пусть в начале 1 . Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние в момент t+h. Эти состояния таковы:

В момент t система находилась в состоянии , за время h новых требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна:

 

 

В момент t система находилась в состоянии , за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

 

 

В момент t система находилась в состоянии , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

 

 

Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние за промежуток времени h имеют вероятность, равную о(h).

Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:

 

Несложные преобразования приводят от этого равенства к такому уравнению для 1 ;

 

(4)

 

Подобные же рассуждения для приводят к уравнению

 

(5)

 

Для определения вероятностей получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2) – (5). Её решение представляет несомненные технические трудности.