Статистическая проверка статистических гипотез

 

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Конкурирующей называют гипотезу Н ₁, которая противоречит нулевой. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место конкурирующая гипотеза.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, т.е. ее необходимо проверять. В итоге статистической проверки гипотез в двух случаях может быть принято неправильное решение:

- ошибка 1 рода – будет отвергнута правильная гипотеза;

- ошибка 2 рода – будет принята неправильная гипотеза.

Для проверки статистической гипотезы используют статистический критерий, т.е. правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу следует либо принять, либо отвергнуть. Основу критерия составляет специальная случайная величина (статистика) K с известным законом распределения. Задаваясь уровнем значимости , т.е. вероятностью совершить ошибку 1 рода, критерий позволяет разбить все множество значений статистики на 2 непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы и критическую область (область отклонения гипотезы).

Основной принцип проверки гипотезы: если значение статистики, рассчитанное для выборки, попадает в критическую область, то гипотезу отвергают, в противном случае – гипотезу принимают. В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Н ₁выбирают:

1. правостороннюю критическую область . Критическое значение статистики вычисляем из условия .

2. левостороннюю критическую область: , .

3. двухсторонняя критическая область: Обычно считают, что , и если критические точки симметричны относительно нуля, то .

 

Схема проверки гипотез

1. По условию задачи формулируют основную и конкурирующую гипотезы.

2. Задают величину уровня значимости a: 0,05; 0,01; 0,001.

3. Выбирают статистику, определяющую критерии проверки и выясняют ее закон распределения.

4. С помощью закона распределения статистики определяют при уровне значимости a (т.е. границы критической области).

5. По результатам выборки вычисляют значение статистики . Если попадает в критическую область, то гипотезу отвергают, если нет – принимают.

 

24.2. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Этот вопрос возникает, если требуется сравнить точности приборов, методов измерений и т.д.

Пусть Х и Y – нормально распределенные генеральные совокупности. По двум выборкам объемами n ₁ и n ₂ найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости a проверяем нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе .

Исправленные выборочные дисперсии обычно различные. Требуется установить: различие значимо (существенно) или незначимо, т.е. объясняется случайными причинами. Выбираем F – статистику, распределенную по закону Фишера–Снедекора. Наблюдаемое значение: (отношение большой исправленной дисперсии к меньшей), число степеней свободы: (где - объем выборки с большей исправленной дисперсией), (где - объем выборки с меньшей исправленной дисперсией). По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора для уровня значимости a, числа степеней свободы определяем . Если , то гипотеза принимается, если , то гипотеза отвергается.

Если Н₁ : , то значение определяется для уровня значимости , поскольку необходимо построить двухстороннюю критическую область и .

Иногда требуется проверить нулевую гипотезу – определенное заданное значение генеральной дисперсии. Для проверки используют статистику – исправленная выборочная дисперсия. Определяют .

а) Если конкурирующая гипотеза имеет вид то для определения выбираем правостороннюю критическую область и по таблице распределения Пирсона () определяем (на уровне значимости для числа степеней свободы ). Если , то гипотезу принимаем, если – отвергаем гипотезу .

б) если то строим двухстороннюю область, определяем левую и правую критические точки. Если то гипотеза принимается, если или , то гипотеза отвергается.

в) Если то строим левостороннюю критическую область, находим . Если , то принимаем гипотезу , если , то отвергается.

 

Пример. По 2 выборкам объемами n ₁ = 10 и n ₂ = 18 найдены исправленные выборочные дисперсии . При уровне значимости проверить гипотезу: .

Находим . Критическая область – двухсторонняя. , поскольку 3 > 2,5, то гипотеза отвергается (дисперсии различаются значимо).