Раздел VIII. Теория вероятностей

Раздел VIII. Теория вероятностей

Глава 21. Случайные события

Понятие события

В практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых нельзя предсказать заранее, т.к. он зависит от случая. При стрельбе из орудия по цели наблюдается рассеивание снарядов; уклонение точки попадания снаряда от цели – случайно даже при соблюдении некоторых условий.

Необходимо научиться количественно оценивать случайные события, прогнозировать их течение. Решением возникающих при этом вопросов занимаются теория вероятностей и математическая статистика.

Под случайным событием будем понимать все то, что может произойти, а может и не произойти при осуществлении некоторой совокупности условий. Например, первый родившийся в семье ребенок – мальчик, завтра в Белгороде выпадут осадки, и т.д.

В дальнейшем вместо «совокупность условий осуществлена» будем говорить «произведено испытание», т.е. случайное событие – это результат испытания. Например, стрелок стреляет по мишени, разделенной на 10 областей. Выстрел – это испытание, попадание в определенную область – случайное событие.

Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита A,B,C,D,…. Зафиксируем некоторое испытание, и будем рассматривать некоторую систему S событий A,B,C. Укажем некоторые соотношения, которые могут существовать между событиями системы S.

1. Если в результате испытания при каждом появлении события A наступает событие B, то говорят, что A является частным случаем B, и записывают этот факт в виде

2. Если и , то А=В. События A и B называются равносильными, если при каждом испытании они оба наступают либо не наступают.

3. Произведением событий A и B называется такое событие AB, которое заключается в совместном наступлении этих событий.

4. Суммой событий A,B называется такое событие A + B, которое заключается в наступлении, по крайней мере, одного из этих событий.

5. Событие U называется достоверным, если оно c необходимостью должно произойти при каждом испытании. Все достоверные события равносильны.

6. Событие V называется невозможным, если оно не происходит ни при каком испытании. Все невозможные события равносильны.

7. Событие называется противоположным событию А (и наоборот), если для них одновременно выполняются равенства . Иначе, два события называются противоположными, если одно из них обязательно должно произойти, причем наступление одного исключает возможность появления другого.

8. События A и B называются несовместными, если их совместное наступление неосуществимо, т.е. .

9. События образуют полную группу попарно несовместных событий, если события несовместны и хотя бы одно из событий непременно должно произойти. Иными словами, полная группа попарно независимых событий удовлетворяет двум условиям: (полная группа) и (попарная несовместность). Иначе – события образуют полную группу, если они попарно несовместные и в результате испытания обязательно наступит одно и только одно событие.

Введенные операции над событиями удовлетворяют следующим правилам:

Одним из наглядных представлений случайных событий и операций над ними являются так называемые диаграммы Виена. Пусть внутри квад­рата, изображенного на рисунке, наудачу выбирается точка, не лежащая ни на одной из нарисованных окружностей. Обозначим через А и В соответст­вующий выбор точки в левом и правом кругах. Области, заштрихованные на рисунке, изображают соответственно события . По диаграммам Виена легко проверяются правила сложения и умножения событий.

 

Элементы комбинаторики

 

Иногда необходимо из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными, раздел математики – комбинаторикой. Комбинаторика широко применяется в теории вероятности, теории управляющих систем и вычислительных машин и т.д.

1. Размещения.

Пусть дано множество из n элементов. Размещениями называют комбинации, составленные из n элементов по m (0 m n) элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений или A = . Полагаем, что 0! = 1.

Пример. Из 30 учащихся надо выбрать комсорга, профорга, старосту. В группе все комсомольцы и члены профсоюза. Сколькими способами можно это сделать?

A = 30 ^. 29 ^. 28 = 24360.

2. Перестановки.

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

Отличаются друг от друга только порядком следования.

Пример. Сколькими способами можно расставить на 1 полке 6 книг?

P = 6! = 720.

3.Сочетания

Сочетаниями называют комбинации из n элементов по m элементов (0 m n), которые отличаются хотя бы одним элементом.

Различаются неодинаковым составом элементов. Если отличаются лишь порядком следования элементов, то множества не считаются различными.

Число сочетаний: .

Пример. В бригаде 25 человек. Необходимо выделить 4 человека для работы. Сколькими способами это можно сделать?

Так как порядок выбранных рабочих не имеет значения, то

C = .

4. Размещениями с повторениями называют упорядоченные последовательности, составленные из n элементов по m в каждом, где некоторые элементы (или все) могут быть одинаковы. Число размещений с повторениями равно: .

Пример. Сколькими способами можно распределить 6 пассажиров лифта по 3 этажам?

На каждом из 3 этажей может выйти любое число пассажиров, поэтому число способов равно

5. Пусть размещения с повторениями содержат n элементов и при этом элемент а ₁ повторяется n ₁ раз, а повторяется n раз, …, раз, . Такие упорядоченные последовательности называются перестановками с повторениями. Число их равно

.

6. Если опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества, содержащего n элементов, но без упорядочивания, то различными исходами этого опыта будут всевозможные m –элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Получающиеся комбинации называется сочетаниями с повторениями. Их число .

Пример. В кондитерской имеются 8 видов пирожных. Сколько различных наборов по 3 пирожных можно составить?

Порядок следования не учитывается, поэтому

Кроме того, при решении комбинаторных задач используют следующие правила.

Правило сумм. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности соответствующих объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно способами.

Правило произведений. Если объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Формула полной вероятности

 

Пусть событие А может произойти в результате появления одного и только одного события Н из некоторой полной группы несовместных событий (полная система). Н обычно называют гипотезами.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить при появлении одной из гипотез Н , равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез на соответствующие условие вероятности данного события А, т.е. .

Доказательство. Событие А равносильно тому, что произойдет А и Н , либо А и Н , либо А и Н ,…, либо А и Н . Тогда по теоремам сложения (несовместных событий) и умножения

Пример. На конвейер поступает продукция трех станков (50% – I, 30% – II, 20% – III). Брак составляет для первого станка 2%, для 2^го – 3%, для 3^го – 5%. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь будет доброкачественной.

Событие А – деталь доброкачественная. Возможны гипотезы: Н , Н , Н – взятое изделие изготовлено на I, II, III станках. P – вероятность взять доброкачественное изделие, изготовленное 1^м станком: P = 1–0,02 = 0,98, аналогично, , P = 1–0,05 = 0,95. Вероятности гипотез даны по условию: P (H , P (H , P (H .

По формуле полной вероятности:

21.9. Формула Байеса (Бейеса)

 

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н , Н , …, Н , вероятности которых P (H известны до опыта. Производится опыт, в результате которого зарегистрировано событие А. Известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятности P . Какими стали вероятности этих гипотез после опыта? Поскольку событие А произошло, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление А. По новой информации надо переоценить вероятности гипотез, т.е. определить .

По теореме умножения вероятностей: .

(i = 1,…, n). Это – формула Байеса, где – вероятность появления события А.

Пример. Вероятность поражения цели при одном выстреле для первого орудия – 0,2, для второго – 0,1. Каждое орудие произвело по одному выстрелу, одно попало в цель. Какова вероятность, что удачный выстрел совершило первое орудие?

Событие А – попадание в цель. Гипотеза Н - оба орудия попали в цель; Н ₂ – 1 не попало, 2 попало (НП); Н ₃ – 1 попало, 2 не попало (ПН); Н ₄ – оба не попали (НН). Поскольку события независимые: (.

, т.е. гипотезы Н и Н ₄ – отпали. По формуле Байеса:

– вероятность того, что попало второе орудие; – вероятность того, что попало первое орудие.

Формула Пуассона

Если р = const, но близка к нулю (или ), а n достаточно велико, причем , то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит k раз: .

Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

n = 1000, k = 5, l = n ^. p = 4. По таблице значений функции Пуассона: , по таблице Лапласа вероятность равна 0,1763. Точное значение вероятности равно 0,1562.

Распределения

Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р. В качестве дискретной случайной величины Х рассмотрим число появления события А в этих испытаниях. Х может принимать значения 0,1,2,3,4,…, n с вероятностями, определенными по формуле Бернулли:

Полученная формула является аналитическим выражением биноминального закона распределения, т.е. биноминальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Запишем в виде таблицы:

Х			…	m	…	n
р			…

Пример. Монета бросается два раза. Написать закон распределения дискретной случайной величины – числа появлений «герба».

р = 0,5, q = 0,5,

Х
Р	0,25	0,5	0,25

 

Простейший поток событий

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени. Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Например, поступление вызовов на АТС, прибытие самолетов в аэропорт, последовательность отказов элементов и т.д. Рассмотрим основные свойства потоков событий.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета, при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона: . Эта формула отражает все свойства простейшего потока, т.е. формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 минут поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

По условию: По формуле Пуассона:

а)

б) эти события практически невозможны.

в) – практически достоверное событие.

 

И его свойства

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно – это числовые характеристики величин. Рассмотрим математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями , тогда .

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то , причем М (Х) существует, если ряд сходится абсолютно. М (Х) – неслучайная (постоянная) величина.

Пример 1. Найти М (Х), если задан закон распределения:

Х
р	0,3	0,1	0,6

Пример 2. Найти М (Х) числа появлений события А в одном испытании, если вероятность появления события А равна р.

Пусть Х – число появлений события А, тогда – событие А наступило с вероятностью р и – событие А не наступило с вероятностью

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равной нулю. D (C) = 0.

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

Если |C| > 1, то величина СХ имеет большие (по модулю) значения, поэтому D (CX)> D (X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D (X+Y) = D (X) + D (Y). Докажем:

Следствие: D (X+C) = D (X) + D (C) = D (X), С = const.

4. D (X – Y) = D (X) + D (Y). Докажем: D (X–Y) = D (X) + D (–Y) = D (X) + (–1)² D (X) = = D (X) + D (Y).

Теорема. Дисперсия числа появлений событий А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А p = const, равна npq = D (X),где .

Иначе. Дисперсия биноминального распределения равна D (X)= npq.

 

Случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать функцией распределения, однако можно использовать и плотностью распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют производную от функции распределения:

Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равно , т.е. Р (a < Х < b) = .

Доказательство:

Если известна функция распределения, то Р (a £ X £ b) = F (b) – F (a). По формуле Ньютона-Лейбница: F (b) – F (a) = = , а Р (a £ X £ b) = Р (a < X < b).

Пример. Дана плотность вероятности:

.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение Î (0,5; 1).

Р (0,5 < X < 1) = = 0,75.

Функцию распределения можно найти по плотности распределения: F (x) = . Действительно, F (x) = P (X < x) или F (x) = P (–¥ < X < x), тогда .

По известной функции распределения можно найти плотность: .

Пример. Найти F(x), если .

Если x £ a, f (x) = 0, то , если : . Если , то .

Свойства f (x)

1. f (x) ³ 0, т.к. F (x) – неубывающая функция, поэтому, ³ 0.

2. =1. Этот интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение (–µ;µ) – достоверное событие, поэтому р = 1.

Вероятностный смысл , тогда:

– вероятность того, что случайная величина примет значение .

 

Нормальное распределение

Нормальным распределением называется распределение вероятностей непрерывных случайных величин, которые описываются плотностью распределения . Нормальное распределения определяются параметрами а и s. Покажем, что a=M (X), .

. Введем: , x = s Z+a, dx = s dZ, Первое слагаемое равно нулю, т.к. функция нечетная, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, (это – интеграл Пуассона). Таким образом, M(X) = a.

. Пусть тогда

 

,

=1

f (x)

тогда .

 

 

График нормального распределения.

Показательное распределение

Показательным распределением называют распределение вероятностей случайных величин Х, которое описывается плотностью

, где l > 0 – const.

Показательное распределение описывается одним параметром l, в этом его преимущество.

Функция распределения:

.

Вероятность попадания в интервал (a,b) непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону: ( – по таблице).

Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение: .

, что позволяет определить, является ли закон распределения показательным.

 

Функция надежности

Пусть элемент – это некоторое устройство. Пусть элемент начал работать в момент времени t _о=0, а по истечении времени t происходит отказ. Обозначим через T непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время меньше t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Функция распределения F (t) = P (T < t) определяет вероятность отказа за время t. Вероятность безотказной работы, т.е. противоположного события (T > t),равна: R (t) = P (T > t) = 1 – F (t).

Функция надежности R (t) – функция, определяющая вероятность безотказной работы элемента за время t: R ( t ) = P ( T > t ).

Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при . Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

По условию, Тогда – искомая вероятность безотказной работы.

 

Теорема Бернулли

Пусть в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна. Тогда как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Или , где – частота появления события A.

Пусть – число появлений события A в первом испытании, – во втором, – в n -ом испытании, может принимать значения: 1 (событие А наступило) с вероятность р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью . Испытания независимые, , так как , то , тогда по неравенству Чебышева: Каждая величина тогда – числу появления события А в n испытаниях, тогда следовательно, .

Теорема Пуассона. Если в последовательности n независимых испытаний вероятность появления события А в каждом испытании равна , то при увеличении n частость события A сходится (по вероятности) к среднему арифметическому вероятностей , т.е.

Пусть случайная величина – число появлений события А в каждом испытании, тогда – число появлений события А в n испытаниях. – независимые величины. Для случайной величины имеем: среднее арифметическое вероятностей; Тогда по неравенству Чебышева: Переходя к пределу, получим доказываемое.

 

И прямоугольник

 

Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадет в полуполосу: или в полуполосу

Функция распределения считается известной, она определяет вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной . Тогда вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна: - это разность вероятностей попадания случайной точки в квадрант с вершиной и вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной . Аналогично, . Вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Рассмотрим вероятность попадания в прямоугольник ABCD, заданий уравнениями сторон: . Эта вероятность равна разности вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ и вероятность попадания случайной точки в полуполосу CD: .

Y

 

 

 

X

 

Вариационный ряд

Рассмотрим пример. Токарь изготавливал в течение 10 дней следующее количество деталей: 5,6,5,7,7,7,8,5,6,5. Ранжируем эту выборку – разобьем на группы:

5,5,5,5 6,6 7,7,7 8

4 раза 2 раза 3 раза 1 раз.

При ранжировании группы располагаются в порядке возрастания. Значение каждой группы называется вариантой. Число повторений в каждой группе называется частотой варианты. Полученную таблицу называют вариационным рядом.

В общем виде:

 

 

– объем выборки.

Графическое изображение вариационного ряда – полигон.

Для непрерывного признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n_i – сумму частот вариант, попавших в i -й интервал.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны , где – относительная частота.

 

Точечные оценки

 

Вариационный ряд характеризует случайную величину, но не в полной мере, поэтому используются характеристики, аналогичные теоретическим – М (х), D (х) и т.д. Эти числовые характеристики подсчитываются на основании выборки и называются точечными оценками (т.к. являются числами).

Точечной оценкой характеристики Q называется некоторая функция Q* результатов наблюдений, значение которой принимают за приближение этой характеристики: . Качество точечной оценки определяется характеристиками:

1. Несмещенность оценки: точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру: , т.е. совпадает с истинным значением.

2. Состоятельность: точечная оценка называется состоятельной, если она при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

3. Эффективность: точечная оценка считается эффективной, если она имеет (при заданном n) наименьшую дисперсию.

 

Основные точечные оценки

 

1. Выборочная средняя: .

Выборочная средняя приближается к М (х), является несмещенной, состоятельной и эффективной.

2. Выборочная дисперсия: . S² является состоятельной, но смещенной, поэтому часто используют несмещенную оценку – исправленную выборочную дисперсию:

3. Начальные и центральные моменты k - го порядка. Начальный момент k -го порядка: . Центральный момент k -го порядка:

 

Схема проверки гипотез

1. По условию задачи формулируют основную и