Неравенство и теорема Чебышева

 

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше числа , не меньше, чем , т.е. .

Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую закон распределения:

 

			…
			…

 

Закон распределения случайной величины :

 

			…
			…

 

Предположим, что первые k значений случайной величины меньше данного , а остальные – не меньше . Тогда . Запишем формулу для дисперсии в виде: Отбросим первое слагаемое и во втором слагаемом заменим меньшей величиной , получим Отсюда: , т.е. . Иначе: . Для частости: .

Теорема Чебышева. Если - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было , вероятность неравенства будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико, т.е.

Рассмотрим случайную величину Имеем: ;

По условию теоремы дисперсия ограничена, т.е. , поэтому . Воспользуемся неравенством Чебышева: Перейдя к пределу и учитывая, что , получим доказываемое.

 

Теорема Бернулли

Пусть в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна. Тогда как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Или , где – частота появления события A.

Пусть – число появлений события A в первом испытании, – во втором, – в n -ом испытании, может принимать значения: 1 (событие А наступило) с вероятность р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью . Испытания независимые, , так как , то , тогда по неравенству Чебышева: Каждая величина тогда – числу появления события А в n испытаниях, тогда следовательно, .

Теорема Пуассона. Если в последовательности n независимых испытаний вероятность появления события А в каждом испытании равна , то при увеличении n частость события A сходится (по вероятности) к среднему арифметическому вероятностей , т.е.

Пусть случайная величина – число появлений события А в каждом испытании, тогда – число появлений события А в n испытаниях. – независимые величины. Для случайной величины имеем: среднее арифметическое вероятностей; Тогда по неравенству Чебышева: Переходя к пределу, получим доказываемое.

 

Функция одного случайного аргумента и ее распределение

 

Если каждому возможному значения случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y – функция от X: Y=j(X).

Найдем закон распределения вероятностей функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.

1) Если X – дискретная величина. Найти распределение Y=X². Вероятности соответствующих значений X и Y равны:

 

2) Пусть X – непрерывная случайная величина.

Пусть Y=j(X) и плотность распределения f(x) известна, тогда , где – обратная функция для функции у=j (х), которая должна быть дифференцируемой и строго возрастающей или убывающей функцией.

 

Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

 

Пусть Y=j (X) – функция случайного аргумента Х. Найдем M (Y).

Пусть Х дискретная случайная величина: с вероятностью , Y – тоже дискретная случайная величина со значениями: с вероятностью . Тогда

Пусть X – непрерывная случайная величина, заданная плотностью f (x).

а) можно найти g (y) – плотность распределения величины Y и , однако проще: .

 

Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин

 

До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом – одномерные. Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются 2, 3,…, n числами. Такие величины называются двумерными, трехмерными, …, n -мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X, Y называют компонентами (составляющими); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Пример: станок штампует плитки. Если контролировать длину X и ширину Y – то имеем двухмерную случайную величину (X, Y).