Свойства математического ожидания и дисперсии

Если существуют соответствующие моменты, то справедливы следующие свойства математического ожидания и дисперсии:

1. , где – индикатор события А.

2. Для любых случайных величин X и Y:

(аддитивное свойство математического ожидания).

Замечание. Для любых случайных величин из свойства 2 по индукции выводится:

.

3. Для любой константы c:

, .

4. Для любых случайных величин X и Y: если , то .

В частности, если , то .

5. Для любой случайной величины X: если и , то .

6. Для любой случайной величины X:

.

7. Для любой случайной величины X:

(свойство неотрицательности дисперсии).

8. Для любой константы c:

, .

9. Для любых случайных величин X и Y:

(или ).

В частности, если случайные величины X и Y некоррелированны, то

(мультипликативное свойство математического ожидания).

Замечание. Отметим, что для случайных величин , где , для выполнения свойства

недостаточно условия некоррелированности . Однако если случайные величины независимы, то последнее равенство верно.

10. Для любых случайных величин X и Y:

.

Замечание. Для любых случайных величин из свойства 11 по индукции выводится:

.

В частности, если случайные величины X и Y некоррелированны, то

(аддитивное свойство дисперсии).

Замечание. Если случайные величины некоррелированны, то

.

Отметим также, что поскольку из независимости случайных величин следует их некоррелированность, то свойство 10 выполняется и для независимых случайных величин.

Пример 2.3.20. Известно, что случайная величина имеет биномиальное распределение . Найти и .

Решение. По свойству 8 математического ожидания и дисперсии . Поскольку для случайной величины дисперсия , где по условию задачи , , , то

.

Вычислим теперь . Опираясь на свойства 2 и 3 математического ожидания и дисперсии, получим:

.

Поскольку для случайной величины математическое ожидание и, по свойству 6, , то

.

Ответ: , .

 

Пример 2.3.21. Функция распределения СВНТ X имеет вид:

Найти и .

Решение. По условию задачи случайная величина X распределена по экспоненциальному закону: . Поэтому , . Найдем вначале : . Тогда:

.

По свойству 8 математического ожидания и дисперсии:

.

Ответ: , .

Пример 2.3.22. Известно, что , , . Найти и .

Решение. Используя формулу для дисперсии суммы

,

получим . Тогда

.

Ответ: , .

 

Пример 2.3.23. На столе налогового инспектора лежат три декларации от представителей трех различных групп населения. Вероятности сокрытия доходов при заполнении декларации для одного представителя каждой группы равны соответственно 0,05, 0,1 и 0,15. Предположим, что сокрытие доходов обнаруживается при проверке в 100% случаев. Найти средний доход государства от проверки этих деклараций, если сумма налагаемого штрафа при обнаружении сокрытия дохода составляет по группам населения 100, 250 и 500 минимальных окладов соответственно.

Решение. Рассмотрим случайную величину X, равную доходу государства от проверки трех деклараций. Тогда X можно представить в виде

,

где ( ) индикаторные случайные величины, т.е. , если подавший декларацию представитель i -й группы населения скрывает доход, и – в противном случае. По условию задачи требуется найти средний доход государства от проверки налоговых деклараций, т.е. математическое ожидание случайной величины X. Воспользуемся свойствами математического ожидания для вычисления :

.

Поскольку для индикаторных случайных величин ( ), то

.

Ответ: средний доход государства от проверки поданных трех деклараций составит 105 минимальных окладов.

 

Пример 2.3.24. Известно, что случайные величины X и Y (где X – рост наугад взятого взрослого мужчины и Y – его вес) удовлетворительно описываются нормальным законом распределения: , . Ковариация этих признаков равна . Считается, что человек страдает избыточным весом, если выполняется неравенство . Найти математическое ожидание и дисперсию характеристики избыточного веса , а также вероятность того, что наугад выбранный мужчина страдает избыточным весом.

Решение. Так как случайные величины X и Y распределены нормально, то разность также распределена нормально (Проверьте!). Вычислим параметры этого закона распределения:

; .

Таким образом, и, следовательно,

.

Ответ: , , .

 

Упражнения

2.3.13. СВНТ X имеет плотность вероятности

.

Найти и .

2.3.14. Плотность вероятности случайной величины X имеет следующий вид:

Найти и .

2.3.15. Пусть существуют дисперсии случайных величин X и Y такие, что . Чему равна ковариация случайных величин и ?

2.3.16. Известно, что случайная величина , , . Найти .

2.3.17. Известно, что случайная величина . Пусть . Найти .

2.3.18. Известно, что случайные величины , . Вычислить .

2.3.19. Подбрасывают три игральные кости. Рассматриваются случайные величины: X – количество костей, на которых выпало шесть очков, Y – количество костей, на которых выпало пять очков. Найти и закон распределения случайной величины .

2.3.20. Предприятие имеет две поточные линии по сборке некоторой продукции. Технологические процессы на линиях связаны между собой. Рассматривая в качестве случайной величины X – количество единиц продукции, собранной за день на первой линии, а Y – на второй линии, совместное распределение этих величин можно задать с помощью таблицы:

Y X

Составить закон распределения случайной величины – суммарного количества единиц продукции, выпускаемой предприятием за день. Найти и .

 

Ответы к упражнениям

2.3.13. , .

2.3.14. , .

2.3.15. 0.

2.3.16. 0.

2.3.17. 0.

2.3.18. .

2.3.19. , .

2.3.20. , ; закон распределения Z:

Z
P

 

Характеристическая функция

Если – комплекснозначная случайная величина, где X и Y – действительные случайные величины, то

.

Определение. Характеристической функцией случайной величины X называется комплекснозначная функция

,

где , .

В частности,

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ.

Замечание 1. По характеристической функции однозначно восстанавливается функция распределения .

Замечание 2. Характеристическая функция представляет собой преобразование Фурье плотности вероятности СВНТ X. Поэтому обратное преобразование Фурье приводит к соотношению

.

Таким образом, для СВНТ задание равносильно заданию , и наоборот.

Характеристическая функция обладает следующими свойствами:

1. .

2. .

3. Если существует m -й абсолютный момент , то существуют производные характеристической функции до m -го порядка включительно, причем , где .

4. Если , то .

5. Если , причем независимы в совокупности, то .

Замечание. Пользуясь этим свойством, можно решать задачу определения закона распределения суммы независимых случайных величин (задачи композиции). Действительно, если , то . Найдя , можно по характеристической функции восстановить закон распределения случайной величины Z. Кроме того, по виду можно ответить на вопрос о композиционной устойчивости распределения.

6. , где черта означает операцию комплексного сопряжения. В частности, отсюда следует, что если – действительная функция, то она обязательно четная.

Определение. Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная функция n действительных переменных , определяемая равенством

.

 

Пример 2.3.25. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей биномиальное распределение ( ), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Согласно определению характеристической функции СВДТ X

.

По свойству 3 для :

,

.

Отсюда

, .

 

Пример 2.3.26. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей пуассоновское распределение ( ), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Согласно определению характеристической функции СВДТ X

.

По свойству 3 для :

,

.

Отсюда

, .

 

Пример 2.3.27. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей геометрическое распределение ( ), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Согласно определению характеристической функции СВДТ X

.

По свойству 3 для :

,

.

Отсюда

, .

 

Пример 2.3.28. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей равномерное распределение ( ).

Решение. Согласно определению характеристической функции СВНТ X

.

Замечание. Для случайной величины с помощью характеристической функции можно вычислить , и . Однако это не очень удобно, поэтому мы этого не делаем.

 

Пример 2.3.29. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей показательное распределение ( ), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Согласно определению характеристической функции СВНТ X

.

По свойству 3 для :

,

,

Отсюда

, .

 

Пример 2.3.30. Найти характеристическую функцию случайной величины X, имеющей нормальное распределение ( ), и с ее помощью вычислить , и .

Решение. Найдем вначале характеристическую функцию случайной величины . Согласно определению характеристической функции СВНТ X

Дифференцируя (по t) и применяя метод интегрирования по частям, получим:

.

Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными при начальном условии (свойство 2 характеристической функции), находим . Отсюда характеристическая функция случайной величины имеет вид

.

Рассмотрим теперь случайную величину . Тогда нормированная случайная величина имеет нормальное распределение и, следовательно, характеристическую функцию . Далее, по свойству 4 характеристической функции, для случайной величины имеем

.

Найдем теперь математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение :

,

,

Отсюда

, .

Пример 2.3.31. Проверить композиционную устойчивость нормального закона.

Решение. Пусть независимые случайные величины X и Y имеют нормальное распределение: , . Найдем случайной величины , учитывая свойство 5 характеристической функции и опираясь на результаты примера 2.3.30:

.

Откуда видно, что характеристическая функция соответствует нормальному распределению, причем . Значит, нормальный закон является композиционно устойчивым.

 

Упражнения

2.3.21. Задана характеристическая функция СВНТ X:

.

Найти плотность распределения случайной величины X.

2.3.22. Случайные величины X и Y независимы и распределены по закону Пуассона: , . С помощью характеристической функции доказать композиционную устойчивость закона Пуассона.

2.3.23. Случайные величины X и Y независимы и распределены по биномиальному закону: , . С помощью характеристической функции доказать композиционную устойчивость биномиального закона.

2.3.24. Случайные величины X и Y независимы и распределены по одному закону . Является ли закон композиционно устойчивым?

 

 

Ответы к упражнениям

2.3.21. – распределение Коши.

2.3.24. Нет.

http://michael983.narod.ru/t/5.htmКонец формы