Тема 4. Функции случайного аргумента

Лекция 13

13.1. Теорема Бернулли (закон больших чисел).

 

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

.

Обозначим через дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через — во втором,-..., Х_п —в n-м испы­тании- Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероят­ностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью q=1-p.

Если случайные величины по­парно независимы и дисперсии их ограничены, то можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева Оба усло­вия выполняются. Действительно, попарная независимость величин следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины (i = 1,2,...,n) равна произведению n pq= pq (n=1); так как p+q=1, топроизве­дение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С = 1/4.

 

** Известно, что произведение двух сомножителей, сумма которых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей. Здесь сумма , т. е. постоянна, поэтому при произведение имеет наибольшее значение

 

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рас­сматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Х_{ (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно ве­роятности р наступления события, получим

Остается показать, что дробь равна относительной частоте т/п появлений события А виспытаниях. Действительно, каждая из величин при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма равна числу явлений события в п испытаниях, а значит,

Учитывая это равенство, окончательно получим

Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р, другими словами из теоремы Бернулли не вытекает равенство

.

В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Таким образом, сходимость относительной частоты к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности». Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при к р как пределу в смысле обычного анализа, то начиная с некото­рого n = N и для всех последующих значений n неуклонно выпол­няется неравенство ; если же стремится по веро­ятности к р при , то для отдельных значений n неравенство может не выполняться.

Теорема Бернулли утверждает, что при относи­тельная частота стремится по вероятности к р и объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойстве» устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.

Устойчивость нормального распределения

Закон распределения вероятности называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон, отличающийся параметрами.

Нормальный закон обладает свойством устойчивости. Композиция нормальных законов имеет нормальное распределение, при этом математическое ожидание и дисперсия композиции равна суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых.

 

Упражнения

2.3.1. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X
P	0,2	0,7	0,1

Найти закон распределения случайной величины .

2.3.2. Число X неисправностей на участке высоковольтной линии в течение года имеет распределение Пуассона с параметром a ( ). Общий материальный ущерб Y от этих неисправностей пропорционален квадрату их числа: , где – неслучайная величина. Найти закон распределения этого ущерба.

2.3.3. СВДТ X имеет пуассоновское распределение , а . Вычислить .

2.3.4. Задана плотность распределения случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения случайной величины Y, если:

1) ; 2) ; 3) .

2.3.5. Задана плотность распределения случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения случайной величины Y, если:

1) ; 2) ; 3) .

 

Ответы к упражнениям

2.3.1.

Y
P	0,3	0,7

2.3.2.

Y		k	4 k	…		…
P				…		…

2.3.3. 1.

2.3.4. 1) , ; 2) , ; 3) , .

2.3.5. 1) , ;

2) , ; 3) , .

 

Задача композиции

Очень часто встречается функциональная зависимость вида

,

т.е. возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент X и Y. Покажем, как эта задача решается в двух случаях, когда компоненты X и Y: 1) СВДТ; 2) СВНТ.

1. Пусть X и Y – СВДТ с известным законом совместного распределения , где – множество возможных значений компоненты X, – множество возможных значений компоненты Y. Тогда закон распределения записывается в виде

,

где суммирование распространяется на все значения индексов i и j, для которых выполняется условие . Затем, построив ряд распределения случайной величины Z (исключая все те значения , вероятность которых равна нулю), можно составить функцию распределения .

Пример 11. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Y X
–1

Составив закон распределения случайной величины , найти функцию распределения и вычислить , .

Решение. Найдем вначале значения функции :

, , , , , .

Значит, случайная величина Z имеет пять возможных значений:

, , , , .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Исключим значения и , поскольку вероятности их равны нулю. Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Z
P

Тогда найдем функцию распределения :

Вычислим теперь и :

, .

Ответ: , .

2. Пусть X и Y – СВНТ с известной плотностью совместного распределения компонент , тогда

.

Особо важным для практики представляется частный случай, когда X и Y – независимые случайные величины, а . Получается так называемая задача композиции.

1. Пусть X и Y – независимые СВДТ, тогда

или

.

 

Пример 2.3.12. Рассматривается случайная величина Z – суммарное число «успехов» в двух независимых опытах с одной и той же вероятностью «успеха» p в каждом опыте. Найти закон распределения случайной величины Z и составить ее функцию распределения.

Решение. Пусть X – количество успехов в первом опыте, а Y – количество успехов во втором опыте. По условию задачи X и Y независимы. Тогда . Получается задача композиции. Поскольку случайные величины X и Y принимают только два значения 0 или 1, то случайная величина может принимать четыре значения

, , ,

с вероятностями

, qp, pq,

соответственно. Тогда ряд распределения примет вид

Z
P		2 pq

Составим теперь функцию распределения случайной величины :

Ответ:

2. Пусть X и Y – независимые СВНТ, и – их плотности. Плотность совместного распределения равна . Функция распределения суммы равна

.

Этот интеграл можно вычислять как повторный:

Дифференцируя по z, получаем:

.

Две последние формулы носят название формул свертки. С помощью этих формул можно выразить функцию распределения и плотность суммы независимых случайных величин через плотности и функции распределения слагаемых. Отметим, что в силу симметрии переменных x и y формулы свертки можно записать следующим образом:

,

.

 

Пример 2.3.13. Пусть случайные величины X и Y – независимы, – функция распределения Х, а Y имеет плотность

Составить функцию распределения и функцию плотности суммы .

Решение. Применяя формулу свертки, имеем

,

т.к. производная интеграла по переменной z равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженного на производную по z от верхнего предела, минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умноженного на производную по z от нижнего предела. Отсюда следует существование плотности

.

Ответ: , .

 

Пример 2.3.14. Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезке : , . Найти плотность вероятности случайной величины .

Решение. 1 способ. По условию возможные значения X определяются неравенством , возможные значения Y – неравенством . Отсюда следует, что возможные случайные точки расположены в квадрате ABCD.

а б

Рис. 2.3.2.

По определению функции распределения

.

Неравенству удовлетворяют те точки плоскости xOy, которые лежат ниже прямой (эта прямая отсекает на осях Ox и Oy отрезки, равные z). Если же брать только возможные значения x и y, то неравенство выполняется только для точек, лежащих в квадрате ABCD ниже прямой .

С другой стороны, т.к. случайные величины X и Y независимы, то

,

где область G – часть квадрата ABCD, которая расположена ниже прямой , а – площадь G. Очевидно, что величина площади зависит от значения z.

Если , то , поэтому . Если (рис. 2.3.2 а), то , поэтому .

Если (рис. 2.3.2 б), то

,

поэтому .

Если , , поэтому .

Найдем теперь плотность распределения , продифференцировав по z:

График функции плотности так называемого треугольного распределения, или распределения Симпсона, показан на рис. 2.3.3.

Рис. 2.3.3.

2 способ. Учтем, что в данном случае подынтегральное выражение в формуле свертки отлично от нуля лишь в случае, когда принадлежит отрезку , а именно:

, если ; , если .

Рассматривая два случая взаимного расположения отрезков, на которых плотности одновременно отличны от нуля (рис. 2.3.4), получим:

, если ;

, если .

Рис. 2.3.4.

Ответ:

Определение. Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и Y подчиняются закону распределения данного типа, следует, что их сумма подчиняется закону распределения W того же вида (различаются только параметры этого закона).

Рассмотрим примеры композиционно устойчивых распределений.

 

Пример 2.3.15. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по закону Пуассона: , .

Решение. Найдем вероятность события , где :

.

Следовательно, случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром . Значит, распределение Пуассона композиционно устойчиво.

Ответ: .

Пример 2.3.16. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальному закону: , .

Решение. Представим случайную величину X в виде:

,

где ( ) – индикатор события A в i -м опыте:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

P

Аналогичное представление сделаем и для случайной величины Y:

,

где ( ) – индикатор события A в j -м опыте:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

P

Следовательно,

,

где каждое из слагаемых является индикаторной случайной величиной распределенной по одному и тому же закону:

или
P

Всего слагаемых – . Отсюда следует, что случайная величина распределена по биномиальному закону с параметрами ; p. Значит, биномиальное распределение композиционно устойчиво.

Ответ: .

Замечание 1. Если вероятности p в различных сериях опытов (первая серия опытов описывается случайной величиной X, а вторая серия – случайной величиной Y) будут различны, то в результате сложения двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальным законам, получится случайная величина Z, распределенная не по биномиальному закону.

Замечание 2. Примеры 2.3.15 и 2.3.16 легко обобщаются на произвольное число слагаемых (Проделайте выкладки самостоятельно!).

 

Пример 2.3.17. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: , . Найти плотность вероятности случайной величины .

Решение. Пользуясь формулой свертки , получим:

.

Из курса интегрального исчисления известно, что

.

В данном случае , , .

Таким образом, из структуры плотности следует, что случайная величина имеет нормальное распределение , где , . Значит, нормальное распределение композиционно устойчиво.

Ответ: , где , .

 

Упражнения

2.3.6. Независимые случайные величины имеют биномиальное распределение , . Вычислить значение , если .

2.3.7. Законы распределения случайных величин X и Y имеют вид:

X				Y
P	0,3	0,7		P	0,6	0,4

Найти распределение случайной величины .

2.3.8. Законы распределения случайных величин X и Y имеют вид:

X					Y
P	0,4	0,1	0,5		P	0,2	0,8

Найти распределение случайной величины .

2.3.9. Независимые случайные величины имеют показательное распределение , . Найти плотность распределения случайной величины .

2.3.10. Независимые случайные величины имеют равномерное распределение , . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.11. Независимые случайные величины имеют равномерное распределение , . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.12. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: , . Найти плотность вероятности случайной величины .

 

Ответы к упражнениям

2.3.6. 0,84.

2.3.7.

Z
P	0,18	0,54	0,28

2.3.8.

Z
P	0,08	0,32	0,02	0,08	0,1	0,4

2.3.9.

2.3.10.

2.3.11.

2.3.12. , т.е. .

Упражнения

2.3.13. СВНТ X имеет плотность вероятности

.

Найти и .

2.3.14. Плотность вероятности случайной величины X имеет следующий вид:

Найти и .

2.3.15. Пусть существуют дисперсии случайных величин X и Y такие, что . Чему равна ковариация случайных величин и ?

2.3.16. Известно, что случайная величина , , . Найти .

2.3.17. Известно, что случайная величина . Пусть . Найти .

2.3.18. Известно, что случайные величины , . Вычислить .

2.3.19. Подбрасывают три игральные кости. Рассматриваются случайные величины: X – количество костей, на которых выпало шесть очков, Y – количество костей, на которых выпало пять очков. Найти и закон распределения случайной величины .

2.3.20. Предприятие имеет две поточные линии по сборке некоторой продукции. Технологические процессы на линиях связаны между собой. Рассматривая в качестве случайной величины X – количество единиц продукции, собранной за день на первой линии, а Y – на второй линии, совместное распределение этих величин можно задать с помощью таблицы:

Y X

Составить закон распределения случайной величины – суммарного количества единиц продукции, выпускаемой предприятием за день. Найти и .

 

Ответы к упражнениям

2.3.13. , .

2.3.14. , .

2.3.15. 0.

2.3.16. 0.

2.3.17. 0.

2.3.18. .

2.3.19. , .

2.3.20. , ; закон распределения Z:

Z
P

 

Характеристическая функция

Если – комплекснозначная случайная величина, где X и Y – действительные случайные величины, то

.

Определение. Характеристической функцией случайной величины X называется комплекснозначная функция

,

где , .

В частности,

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ.

Замечание 1. По характеристической функции однозначно восстанавливается функция распределения .

Замечание 2. Характеристическая функция представляет собой