ТОП 10:

Тема 4. Функции случайного аргумента



Лекция 13

13.1. Теорема Бернулли(закон больших чисел).

 

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

.

Обозначим через дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через во втором,-..., Хп—в n-м испы­тании- Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероят­ностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью q=1-p.

Если случайные величины по­парно независимы и дисперсии их ограничены, то можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева Оба усло­вия выполняются. Действительно, попарная независимость величин следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины (i = 1,2, ...,n) равна произведению npq= pq (n=1); так как p+q=1, топроизве­дение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С = 1/4.

 

** Известно, что произведение двух сомножителей, сумма которых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей. Здесь сумма , т. е. постоянна, поэтому при произведение имеет наибольшее значение

 

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рас­сматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Х{ (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно ве­роятности р наступления события, получим

Остается показать, что дробь равна относительной частоте т/п появлений события А виспытаниях. Действительно, каждая из величин при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма равна числу явлений события в п испытаниях, а значит,

Учитывая это равенство, окончательно получим

Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р, другими словами из теоремы Бернулли не вытекает равенство

.

В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Таким образом, сходимость относительной частоты к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности». Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при к р как пределу в смысле обычного анализа, то начиная с некото­рого n = N и для всех последующих значений n неуклонно выпол­няется неравенство ; если же стремится по веро­ятности к р при , то для отдельных значений n неравенство может не выполняться.

Теорема Бернулли утверждает, что при относи­тельная частота стремится по вероятности к р и объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойстве» устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.

Устойчивость нормального распределения

Закон распределения вероятности называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон , отличающийся параметрами.

Нормальный закон обладает свойством устойчивости. Композиция нормальных законов имеет нормальное распределение, при этом математическое ожидание и дисперсия композиции равна суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых.

 

Упражнения

2.3.1. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X
P 0,2 0,7 0,1

Найти закон распределения случайной величины .

2.3.2. Число X неисправностей на участке высоковольтной линии в течение года имеет распределение Пуассона с параметром a ( ). Общий материальный ущерб Y от этих неисправностей пропорционален квадрату их числа: , где – неслучайная величина. Найти закон распределения этого ущерба.

2.3.3. СВДТ X имеет пуассоновское распределение , а . Вычислить .

2.3.4. Задана плотность распределения случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения случайной величины Y, если:

1) ; 2) ; 3) .

2.3.5. Задана плотность распределения случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения случайной величины Y, если:

1) ; 2) ; 3) .

 

Ответы к упражнениям

2.3.1.

Y
P 0,3 0,7

2.3.2.

Y k 4k
P

2.3.3. 1.

2.3.4. 1) , ; 2) , ; 3) , .

2.3.5. 1) , ;

2) , ; 3) , .

 

Задача композиции

Очень часто встречается функциональная зависимость вида

,

т.е. возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент X и Y. Покажем, как эта задача решается в двух случаях, когда компоненты X и Y: 1) СВДТ; 2) СВНТ.

1. Пусть X и Y – СВДТ с известным законом совместного распределения , где – множество возможных значений компоненты X, – множество возможных значений компоненты Y. Тогда закон распределения записывается в виде

,

где суммирование распространяется на все значения индексов i и j, для которых выполняется условие . Затем, построив ряд распределения случайной величины Z (исключая все те значения , вероятность которых равна нулю), можно составить функцию распределения .

Пример 11. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Y X
–1

Составив закон распределения случайной величины , найти функцию распределения и вычислить , .

Решение. Найдем вначале значения функции :

, , , , , .

Значит, случайная величина Z имеет пять возможных значений:

, , , , .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Исключим значения и , поскольку вероятности их равны нулю. Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Z
P

Тогда найдем функцию распределения :

Вычислим теперь и :

, .

Ответ: , .

2. Пусть X и Y – СВНТ с известной плотностью совместного распределения компонент , тогда

.

Особо важным для практики представляется частный случай, когда X и Y независимые случайные величины, а . Получается так называемая задача композиции.

1. Пусть X и Yнезависимые СВДТ, тогда

или

.

 

Пример 2.3.12. Рассматривается случайная величина Z – суммарное число «успехов» в двух независимых опытах с одной и той же вероятностью «успеха» p в каждом опыте. Найти закон распределения случайной величины Z и составить ее функцию распределения.

Решение. Пусть X – количество успехов в первом опыте, а Y – количество успехов во втором опыте. По условию задачи X и Y независимы. Тогда . Получается задача композиции. Поскольку случайные величины X и Y принимают только два значения 0 или 1, то случайная величина может принимать четыре значения

, , ,

с вероятностями

, qp, pq,

соответственно. Тогда ряд распределения примет вид

Z
P 2pq

Составим теперь функцию распределения случайной величины :

Ответ:

2. Пусть X и Yнезависимые СВНТ, и – их плотности. Плотность совместного распределения равна . Функция распределения суммы равна

.

Этот интеграл можно вычислять как повторный:

Дифференцируя по z, получаем:

.

Две последние формулы носят название формул свертки. С помощью этих формул можно выразить функцию распределения и плотность суммы независимых случайных величин через плотности и функции распределения слагаемых. Отметим, что в силу симметрии переменных x и y формулы свертки можно записать следующим образом:

,

.

 

Пример 2.3.13. Пусть случайные величины X и Y – независимы, – функция распределения Х, а Y имеет плотность

Составить функцию распределения и функцию плотности суммы .

Решение. Применяя формулу свертки, имеем

,

т.к. производная интеграла по переменной z равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженного на производную по z от верхнего предела, минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умноженного на производную по z от нижнего предела. Отсюда следует существование плотности

.

Ответ: , .

 

Пример 2.3.14. Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезке : , . Найти плотность вероятности случайной величины .

Решение. 1 способ. По условию возможные значения X определяются неравенством , возможные значения Y – неравенством . Отсюда следует, что возможные случайные точки расположены в квадрате ABCD.

а б

Рис. 2.3.2.

По определению функции распределения

.

Неравенству удовлетворяют те точки плоскости xOy, которые лежат ниже прямой (эта прямая отсекает на осях Ox и Oy отрезки, равные z). Если же брать только возможные значения x и y, то неравенство выполняется только для точек, лежащих в квадрате ABCD ниже прямой .

С другой стороны, т.к. случайные величины X и Y независимы, то

,

где область G – часть квадрата ABCD, которая расположена ниже прямой , а – площадь G. Очевидно, что величина площади зависит от значения z.

Если , то , поэтому . Если (рис. 2.3.2 а), то , поэтому .

Если (рис. 2.3.2 б), то

,

поэтому .

Если , , поэтому .

Найдем теперь плотность распределения , продифференцировав по z:

График функции плотности так называемого треугольного распределения, или распределения Симпсона, показан на рис. 2.3.3.

Рис. 2.3.3.

2 способ. Учтем, что в данном случае подынтегральное выражение в формуле свертки отлично от нуля лишь в случае, когда принадлежит отрезку , а именно:

, если ; , если .

Рассматривая два случая взаимного расположения отрезков, на которых плотности одновременно отличны от нуля (рис. 2.3.4), получим:

, если ;

, если .

Рис. 2.3.4.

Ответ:

Определение. Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и Y подчиняются закону распределения данного типа, следует, что их сумма подчиняется закону распределения W того же вида (различаются только параметры этого закона).

Рассмотрим примеры композиционно устойчивых распределений.

 

Пример 2.3.15. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по закону Пуассона: , .

Решение. Найдем вероятность события , где :

.

Следовательно, случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром . Значит, распределение Пуассона композиционно устойчиво.

Ответ: .

Пример 2.3.16. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальному закону: , .

Решение. Представим случайную величину X в виде:

,

где ( ) – индикатор события A в i-м опыте:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

P

Аналогичное представление сделаем и для случайной величины Y:

,

где ( ) – индикатор события A в j-м опыте:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

P

Следовательно,

,

где каждое из слагаемых является индикаторной случайной величиной распределенной по одному и тому же закону:

или
P

Всего слагаемых – . Отсюда следует, что случайная величина распределена по биномиальному закону с параметрами ; p. Значит, биномиальное распределение композиционно устойчиво.

Ответ: .

Замечание 1. Если вероятности p в различных сериях опытов (первая серия опытов описывается случайной величиной X, а вторая серия – случайной величиной Y) будут различны, то в результате сложения двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальным законам, получится случайная величина Z, распределенная не по биномиальному закону.

Замечание 2. Примеры 2.3.15 и 2.3.16 легко обобщаются на произвольное число слагаемых (Проделайте выкладки самостоятельно!).

 

Пример 2.3.17. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: , . Найти плотность вероятности случайной величины .

Решение. Пользуясь формулой свертки , получим:

.

Из курса интегрального исчисления известно, что

.

В данном случае , , .

Таким образом, из структуры плотности следует, что случайная величина имеет нормальное распределение , где , . Значит, нормальное распределение композиционно устойчиво.

Ответ: , где , .

 

Упражнения

2.3.6. Независимые случайные величины имеют биномиальное распределение , . Вычислить значение , если .

2.3.7. Законы распределения случайных величин X и Y имеют вид:

X   Y
P 0,3 0,7   P 0,6 0,4

Найти распределение случайной величины .

2.3.8. Законы распределения случайных величин X и Y имеют вид:

X Y
P 0,4 0,1 0,5   P 0,2 0,8

Найти распределение случайной величины .

2.3.9. Независимые случайные величины имеют показательное распределение , . Найти плотность распределения случайной величины .

2.3.10. Независимые случайные величины имеют равномерное распределение , . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.11. Независимые случайные величины имеют равномерное распределение , . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.12. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: , . Найти плотность вероятности случайной величины .

 

Ответы к упражнениям

2.3.6. 0,84.

2.3.7.

Z
P 0,18 0,54 0,28

2.3.8.

Z
P 0,08 0,32 0,02 0,08 0,1 0,4

2.3.9.

2.3.10.

2.3.11.

2.3.12. , т.е. .

Упражнения

2.3.13. СВНТ X имеет плотность вероятности

.

Найти и .

2.3.14. Плотность вероятности случайной величины X имеет следующий вид:

Найти и .

2.3.15. Пусть существуют дисперсии случайных величин X и Y такие, что . Чему равна ковариация случайных величин и ?

2.3.16. Известно, что случайная величина , , . Найти .

2.3.17. Известно, что случайная величина . Пусть . Найти .

2.3.18. Известно, что случайные величины , . Вычислить .

2.3.19. Подбрасывают три игральные кости. Рассматриваются случайные величины: X – количество костей, на которых выпало шесть очков, Y – количество костей, на которых выпало пять очков. Найти и закон распределения случайной величины .

2.3.20. Предприятие имеет две поточные линии по сборке некоторой продукции. Технологические процессы на линиях связаны между собой. Рассматривая в качестве случайной величины X – количество единиц продукции, собранной за день на первой линии, а Y – на второй линии, совместное распределение этих величин можно задать с помощью таблицы:

Y X

Составить закон распределения случайной величины – суммарного количества единиц продукции, выпускаемой предприятием за день. Найти и .

 

Ответы к упражнениям

2.3.13. , .

2.3.14. , .

2.3.15. 0.

2.3.16. 0.

2.3.17. 0.

2.3.18. .

2.3.19. , .

2.3.20. , ; закон распределения Z:

Z
P

 

Характеристическая функция

Если – комплекснозначная случайная величина, где X и Y – действительные случайные величины, то

.

Определение. Характеристической функцией случайной величины X называется комплекснозначная функция

,

где , .

В частности,

, если X – СВДТ;

, если X – СВНТ.

Замечание 1. По характеристической функции однозначно восстанавливается функция распределения .







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-13; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.204.191.31 (0.05 с.)