Функции многомерных случайных величин 





Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Функции многомерных случайных величин



Функция многомерной случайной величины определяется аналогично тому, как определялась функция одномерной случайной величины. Рассмотрим это на примере двумерной случайной величины. Пусть на вероятностном пространстве ( , F, P) задана двумерная случайная величина . Предположим, что имеется числовая функция скалярных аргументов x и y. Случайную величину назовем функцией от двумерной случайной величины .

1. Пусть случайные величины X и Y являются дискретными.

Функция от двумерной дискретной случайной величины снова является дискретной случайной величиной, принимающей значения с вероятностями , где – множество возможных значений компоненты X, – множество возможных значений компоненты Y. Тогда для нахождения функции распределения можно воспользоваться соотношением

Однако, как правило, удобнее вначале составить ряд распределения случайной величины . Чтобы его построить, необходимо исключить все те значения , вероятность которых равна нулю, и объединить в один столбец все одинаковые значения , приписав этому столбцу суммарную вероятность.

 

Пример 2.3.9. Распределение случайного вектора задано таблицей:

Y X –1
–1 0,07 0,1 0,13
0,2 0,23 0,27

Составить закон распределения случайной величины .

Решение. Найдем вначале значения функции :

, , , , , .

Значит, случайная величина Z имеет два возможных значения:

, .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий , , и , т.е. . Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Z
P 0,33 0,67

Таким образом, случайной величины Z имеет биномиальное распределение .

Ответ: .

 

2. Пусть случайные величины X и Y являются непрерывными.

В случае, когда двумерная непрерывная случайная величина с плотностью , функция распределения случайной величины определяется формулой

.

Область интегрирования здесь состоит из всех точек x и y, для которых . Найдя функцию распределения , далее можно дифференцированием по z (в тех точках, в которых имеет производную по z) найти плотность распределения случайной величины Z.

 

Пример 2.3.10. Случайная точка распределена равномерно в квадрате Q со стороной 1 (рис. 2.3.1 а). Найти закон распределения площади Z прямоугольника со сторонами X и Y: .

Решение. Очевидно, что в данном случае случайные величины X и Y независимы (Советуем убедиться в этом самостоятельно!):

Область интегрирования заштрихована на рис. 2.3.1 б.

а б

Рис. 2.3.1.

Тогда

,

где . Таким образом, окончательно получим:

Дифференцируя это выражение по z, получим плотность распределения случайной величины Z:

Ответ:

Задача композиции

Очень часто встречается функциональная зависимость вида

,

т.е. возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент X и Y. Покажем, как эта задача решается в двух случаях, когда компоненты X и Y: 1) СВДТ; 2) СВНТ.

1. Пусть X и Y – СВДТ с известным законом совместного распределения , где – множество возможных значений компоненты X, – множество возможных значений компоненты Y. Тогда закон распределения записывается в виде

,

где суммирование распространяется на все значения индексов i и j, для которых выполняется условие . Затем, построив ряд распределения случайной величины Z (исключая все те значения , вероятность которых равна нулю), можно составить функцию распределения .

Пример 11. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Y X
–1

Составив закон распределения случайной величины , найти функцию распределения и вычислить , .

Решение. Найдем вначале значения функции :

, , , , , .

Значит, случайная величина Z имеет пять возможных значений:

, , , , .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Исключим значения и , поскольку вероятности их равны нулю. Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Z
P

Тогда найдем функцию распределения :

Вычислим теперь и :

, .

Ответ: , .

2. Пусть X и Y – СВНТ с известной плотностью совместного распределения компонент , тогда

.

Особо важным для практики представляется частный случай, когда X и Y независимые случайные величины, а . Получается так называемая задача композиции.

1. Пусть X и Yнезависимые СВДТ, тогда

или

.

 

Пример 2.3.12. Рассматривается случайная величина Z – суммарное число «успехов» в двух независимых опытах с одной и той же вероятностью «успеха» p в каждом опыте. Найти закон распределения случайной величины Z и составить ее функцию распределения.

Решение. Пусть X – количество успехов в первом опыте, а Y – количество успехов во втором опыте. По условию задачи X и Y независимы. Тогда . Получается задача композиции. Поскольку случайные величины X и Y принимают только два значения 0 или 1, то случайная величина может принимать четыре значения

, , ,

с вероятностями

, qp, pq,

соответственно. Тогда ряд распределения примет вид

Z
P 2pq

Составим теперь функцию распределения случайной величины :

Ответ:

2. Пусть X и Yнезависимые СВНТ, и – их плотности. Плотность совместного распределения равна . Функция распределения суммы равна

.

Этот интеграл можно вычислять как повторный:

Дифференцируя по z, получаем:

.

Две последние формулы носят название формул свертки. С помощью этих формул можно выразить функцию распределения и плотность суммы независимых случайных величин через плотности и функции распределения слагаемых. Отметим, что в силу симметрии переменных x и y формулы свертки можно записать следующим образом:

,

.

 

Пример 2.3.13. Пусть случайные величины X и Y – независимы, – функция распределения Х, а Y имеет плотность

Составить функцию распределения и функцию плотности суммы .

Решение. Применяя формулу свертки, имеем

,

т.к. производная интеграла по переменной z равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженного на производную по z от верхнего предела, минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умноженного на производную по z от нижнего предела. Отсюда следует существование плотности

.

Ответ: , .

 

Пример 2.3.14. Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезке : , . Найти плотность вероятности случайной величины .

Решение. 1 способ. По условию возможные значения X определяются неравенством , возможные значения Y – неравенством . Отсюда следует, что возможные случайные точки расположены в квадрате ABCD.

а б

Рис. 2.3.2.

По определению функции распределения

.

Неравенству удовлетворяют те точки плоскости xOy, которые лежат ниже прямой (эта прямая отсекает на осях Ox и Oy отрезки, равные z). Если же брать только возможные значения x и y, то неравенство выполняется только для точек, лежащих в квадрате ABCD ниже прямой .

С другой стороны, т.к. случайные величины X и Y независимы, то

,

где область G – часть квадрата ABCD, которая расположена ниже прямой , а – площадь G. Очевидно, что величина площади зависит от значения z.

Если , то , поэтому . Если (рис. 2.3.2 а), то , поэтому .

Если (рис. 2.3.2 б), то

,

поэтому .

Если , , поэтому .

Найдем теперь плотность распределения , продифференцировав по z:

График функции плотности так называемого треугольного распределения, или распределения Симпсона, показан на рис. 2.3.3.

Рис. 2.3.3.

2 способ. Учтем, что в данном случае подынтегральное выражение в формуле свертки отлично от нуля лишь в случае, когда принадлежит отрезку , а именно:

, если ; , если .

Рассматривая два случая взаимного расположения отрезков, на которых плотности одновременно отличны от нуля (рис. 2.3.4), получим:

, если ;

, если .

Рис. 2.3.4.

Ответ:

Определение. Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и Y подчиняются закону распределения данного типа, следует, что их сумма подчиняется закону распределения W того же вида (различаются только параметры этого закона).

Рассмотрим примеры композиционно устойчивых распределений.

 

Пример 2.3.15. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по закону Пуассона: , .

Решение. Найдем вероятность события , где :

.

Следовательно, случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром . Значит, распределение Пуассона композиционно устойчиво.

Ответ: .

Пример 2.3.16. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальному закону: , .

Решение. Представим случайную величину X в виде:

,

где ( ) – индикатор события A в i-м опыте:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

P

Аналогичное представление сделаем и для случайной величины Y:

,

где ( ) – индикатор события A в j-м опыте:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

P

Следовательно,

,

где каждое из слагаемых является индикаторной случайной величиной распределенной по одному и тому же закону:

или
P

Всего слагаемых – . Отсюда следует, что случайная величина распределена по биномиальному закону с параметрами ; p. Значит, биномиальное распределение композиционно устойчиво.

Ответ: .

Замечание 1. Если вероятности p в различных сериях опытов (первая серия опытов описывается случайной величиной X, а вторая серия – случайной величиной Y) будут различны, то в результате сложения двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальным законам, получится случайная величина Z, распределенная не по биномиальному закону.

Замечание 2. Примеры 2.3.15 и 2.3.16 легко обобщаются на произвольное число слагаемых (Проделайте выкладки самостоятельно!).

 

Пример 2.3.17. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: , . Найти плотность вероятности случайной величины .

Решение. Пользуясь формулой свертки , получим:

.

Из курса интегрального исчисления известно, что

.

В данном случае , , .

Таким образом, из структуры плотности следует, что случайная величина имеет нормальное распределение , где , . Значит, нормальное распределение композиционно устойчиво.

Ответ: , где , .

 

Упражнения

2.3.6. Независимые случайные величины имеют биномиальное распределение , . Вычислить значение , если .

2.3.7. Законы распределения случайных величин X и Y имеют вид:

X   Y
P 0,3 0,7   P 0,6 0,4

Найти распределение случайной величины .

2.3.8. Законы распределения случайных величин X и Y имеют вид:

X Y
P 0,4 0,1 0,5   P 0,2 0,8

Найти распределение случайной величины .

2.3.9. Независимые случайные величины имеют показательное распределение , . Найти плотность распределения случайной величины .

2.3.10. Независимые случайные величины имеют равномерное распределение , . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.11. Независимые случайные величины имеют равномерное распределение , . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.12. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: , . Найти плотность вероятности случайной величины .

 

Ответы к упражнениям

2.3.6. 0,84.

2.3.7.

Z
P 0,18 0,54 0,28

2.3.8.

Z
P 0,08 0,32 0,02 0,08 0,1 0,4

2.3.9.

2.3.10.

2.3.11.

2.3.12. , т.е. .





Последнее изменение этой страницы: 2016-09-13; просмотров: 443; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.230.9.187 (0.025 с.)