Функции многомерных случайных величин

Функция многомерной случайной величины определяется аналогично тому, как определялась функция одномерной случайной величины. Рассмотрим это на примере двумерной случайной величины. Пусть на вероятностном пространстве ( , F, P) задана двумерная случайная величина . Предположим, что имеется числовая функция скалярных аргументов x и y. Случайную величину назовем функцией от двумерной случайной величины .

1. Пусть случайные величины X и Y являются дискретными.

Функция от двумерной дискретной случайной величины снова является дискретной случайной величиной, принимающей значения с вероятностями , где – множество возможных значений компоненты X, – множество возможных значений компоненты Y. Тогда для нахождения функции распределения можно воспользоваться соотношением

Однако, как правило, удобнее вначале составить ряд распределения случайной величины . Чтобы его построить, необходимо исключить все те значения , вероятность которых равна нулю, и объединить в один столбец все одинаковые значения , приписав этому столбцу суммарную вероятность.

 

Пример 2.3.9. Распределение случайного вектора задано таблицей:

Y X	–1
–1	0,07	0,1	0,13
	0,2	0,23	0,27

Составить закон распределения случайной величины .

Решение. Найдем вначале значения функции :

, , , , , .

Значит, случайная величина Z имеет два возможных значения:

, .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий , , и , т.е. . Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Z
P	0,33	0,67

Таким образом, случайной величины Z имеет биномиальное распределение .

Ответ: .

 

2. Пусть случайные величины X и Y являются непрерывными.

В случае, когда – двумерная непрерывная случайная величина с плотностью , функция распределения случайной величины определяется формулой

.

Область интегрирования здесь состоит из всех точек x и y, для которых . Найдя функцию распределения , далее можно дифференцированием по z (в тех точках, в которых имеет производную по z) найти плотность распределения случайной величины Z.

 

Пример 2.3.10. Случайная точка распределена равномерно в квадрате Q со стороной 1 (рис. 2.3.1 а). Найти закон распределения площади Z прямоугольника со сторонами X и Y: .

Решение. Очевидно, что в данном случае случайные величины X и Y независимы (Советуем убедиться в этом самостоятельно!):

Область интегрирования заштрихована на рис. 2.3.1 б.

а б

Рис. 2.3.1.

Тогда

,

где . Таким образом, окончательно получим:

Дифференцируя это выражение по z, получим плотность распределения случайной величины Z:

Ответ:

Задача композиции

Очень часто встречается функциональная зависимость вида

,

т.е. возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент X и Y. Покажем, как эта задача решается в двух случаях, когда компоненты X и Y: 1) СВДТ; 2) СВНТ.

1. Пусть X и Y – СВДТ с известным законом совместного распределения , где – множество возможных значений компоненты X, – множество возможных значений компоненты Y. Тогда закон распределения записывается в виде

,

где суммирование распространяется на все значения индексов i и j, для которых выполняется условие . Затем, построив ряд распределения случайной величины Z (исключая все те значения , вероятность которых равна нулю), можно составить функцию распределения .

Пример 11. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Y X
–1

Составив закон распределения случайной величины , найти функцию распределения и вычислить , .

Решение. Найдем вначале значения функции :

, , , , , .

Значит, случайная величина Z имеет пять возможных значений:

, , , , .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Исключим значения и , поскольку вероятности их равны нулю. Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Z
P

Тогда найдем функцию распределения :

Вычислим теперь и :

, .

Ответ: , .

2. Пусть X и Y – СВНТ с известной плотностью совместного распределения компонент , тогда

.

Особо важным для практики представляется частный случай, когда X и Y – независимые случайные величины, а . Получается так называемая задача композиции.

1. Пусть X и Y – независимые СВДТ, тогда

или

.

 

Пример 2.3.12. Рассматривается случайная величина Z – суммарное число «успехов» в двух независимых опытах с одной и той же вероятностью «успеха» p в каждом опыте. Найти закон распределения случайной величины Z и составить ее функцию распределения.

Решение. Пусть X – количество успехов в первом опыте, а Y – количество успехов во втором опыте. По условию задачи X и Y независимы. Тогда . Получается задача композиции. Поскольку случайные величины X и Y принимают только два значения 0 или 1, то случайная величина может принимать четыре значения

, , ,

с вероятностями

, qp, pq,

соответственно. Тогда ряд распределения примет вид

Z
P		2 pq

Составим теперь функцию распределения случайной величины :

Ответ:

2. Пусть X и Y – независимые СВНТ, и – их плотности. Плотность совместного распределения равна . Функция распределения суммы равна

.

Этот интеграл можно вычислять как повторный:

Дифференцируя по z, получаем:

.

Две последние формулы носят название формул свертки. С помощью этих формул можно выразить функцию распределения и плотность суммы независимых случайных величин через плотности и функции распределения слагаемых. Отметим, что в силу симметрии переменных x и y формулы свертки можно записать следующим образом:

,

.

 

Пример 2.3.13. Пусть случайные величины X и Y – независимы, – функция распределения Х, а Y имеет плотность

Составить функцию распределения и функцию плотности суммы .

Решение. Применяя формулу свертки, имеем

,

т.к. производная интеграла по переменной z равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженного на производную по z от верхнего предела, минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умноженного на производную по z от нижнего предела. Отсюда следует существование плотности

.

Ответ: , .

 

Пример 2.3.14. Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезке : , . Найти плотность вероятности случайной величины .

Решение. 1 способ. По условию возможные значения X определяются неравенством , возможные значения Y – неравенством . Отсюда следует, что возможные случайные точки расположены в квадрате ABCD.

а б

Рис. 2.3.2.

По определению функции распределения

.

Неравенству удовлетворяют те точки плоскости xOy, которые лежат ниже прямой (эта прямая отсекает на осях Ox и Oy отрезки, равные z). Если же брать только возможные значения x и y, то неравенство выполняется только для точек, лежащих в квадрате ABCD ниже прямой .

С другой стороны, т.к. случайные величины X и Y независимы, то

,

где область G – часть квадрата ABCD, которая расположена ниже прямой , а – площадь G. Очевидно, что величина площади зависит от значения z.

Если , то , поэтому . Если (рис. 2.3.2 а), то , поэтому .

Если (рис. 2.3.2 б), то

,

поэтому .

Если , , поэтому .

Найдем теперь плотность распределения , продифференцировав по z:

График функции плотности так называемого треугольного распределения, или распределения Симпсона, показан на рис. 2.3.3.

Рис. 2.3.3.

2 способ. Учтем, что в данном случае подынтегральное выражение в формуле свертки отлично от нуля лишь в случае, когда принадлежит отрезку , а именно:

, если ; , если .

Рассматривая два случая взаимного расположения отрезков, на которых плотности одновременно отличны от нуля (рис. 2.3.4), получим:

, если ;

, если .

Рис. 2.3.4.

Ответ:

Определение. Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и Y подчиняются закону распределения данного типа, следует, что их сумма подчиняется закону распределения W того же вида (различаются только параметры этого закона).

Рассмотрим примеры композиционно устойчивых распределений.

 

Пример 2.3.15. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по закону Пуассона: , .

Решение. Найдем вероятность события , где :

.

Следовательно, случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром . Значит, распределение Пуассона композиционно устойчиво.

Ответ: .

Пример 2.3.16. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальному закону: , .

Решение. Представим случайную величину X в виде:

,

где ( ) – индикатор события A в i -м опыте:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

P

Аналогичное представление сделаем и для случайной величины Y:

,

где ( ) – индикатор события A в j -м опыте:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

P

Следовательно,

,

где каждое из слагаемых является индикаторной случайной величиной распределенной по одному и тому же закону:

или
P

Всего слагаемых – . Отсюда следует, что случайная величина распределена по биномиальному закону с параметрами ; p. Значит, биномиальное распределение композиционно устойчиво.

Ответ: .

Замечание 1. Если вероятности p в различных сериях опытов (первая серия опытов описывается случайной величиной X, а вторая серия – случайной величиной Y) будут различны, то в результате сложения двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальным законам, получится случайная величина Z, распределенная не по биномиальному закону.

Замечание 2. Примеры 2.3.15 и 2.3.16 легко обобщаются на произвольное число слагаемых (Проделайте выкладки самостоятельно!).

 

Пример 2.3.17. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: , . Найти плотность вероятности случайной величины .

Решение. Пользуясь формулой свертки , получим:

.

Из курса интегрального исчисления известно, что

.

В данном случае , , .

Таким образом, из структуры плотности следует, что случайная величина имеет нормальное распределение , где , . Значит, нормальное распределение композиционно устойчиво.

Ответ: , где , .

 

Упражнения

2.3.6. Независимые случайные величины имеют биномиальное распределение , . Вычислить значение , если .

2.3.7. Законы распределения случайных величин X и Y имеют вид:

X				Y
P	0,3	0,7		P	0,6	0,4

Найти распределение случайной величины .

2.3.8. Законы распределения случайных величин X и Y имеют вид:

X					Y
P	0,4	0,1	0,5		P	0,2	0,8

Найти распределение случайной величины .

2.3.9. Независимые случайные величины имеют показательное распределение , . Найти плотность распределения случайной величины .

2.3.10. Независимые случайные величины имеют равномерное распределение , . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.11. Независимые случайные величины имеют равномерное распределение , . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .

2.3.12. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: , . Найти плотность вероятности случайной величины .

 

Ответы к упражнениям

2.3.6. 0,84.

2.3.7.

Z
P	0,18	0,54	0,28

2.3.8.

Z
P	0,08	0,32	0,02	0,08	0,1	0,4

2.3.9.

2.3.10.

2.3.11.

2.3.12. , т.е. .