Свойство комплекснозначных случайных величин.

Если комлекснозначные случайные величины Z₁ и Z₂—независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий, т.е. .

.

0. 4 Характеристической функцией случайной величины называется функция , где .

Формулы для вычисления характеристической функции.

Случай 1. Пусть —дискретная случайная величина с рядом распределения

	x1	x2	…
Р	p1	p2	…

.

Случай 2. Пусть —целочисленная случайная величина с плотностью . Тогда характеристическая функция .

Пример 1. Пусть —целочисленная случайная величина с производящей функцией . Тогда характеристическая функция случайной величины —производящая функция от аргумента .

Пример 2. Пусть случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), т.е. . Найти характеристическую функцию . , m=0,1,2…,n.

.

.

Если t=0, то .

Из примера 1, § 12 найдена производящая функция случайной величины ,

, если .

Пример 3. Пусть случайная величина имеет пуассоновское распределение с параметром λ, т.е. . Найти характеристическую и производящую функции.

, m=0,1,2,…

Если

. t=0, .

Производящая функция .

 

Таблица 1. Производящие функции.

Название распределения	Формула для	Производящая функция
Геометрическое	, k=0,1,2,… pq^k
Биномиальное	, k=0,1,2…,n.
Пуассоновское	, k=0,1,…

 

Таблица 2. Характеристические функции.

Название распределения	Формула для или плотности	Характеристическая функция
Биномиальное	, k=0,1,2…
Пуассоновское	, k=0,1,2,..
Равномерное	,
Равномерное	,
Показательное	,
Нормальное распределение

 

Свойства характеристических функций.

Свойство 1. Характеристическая функция определена для любой случайной величины. При этом , .

.

.

Поскольку , то

Свойство 2. Характеристическая функция случайной величины , где a, b—некоторые числа.

.

.

Свойство 3. Если случайные величины —независимы, то характеристическая функция суммы данных случайных величин равна произведению характеристических функций этих случайных величин, т.е.

.

Свойство 4. Если М , характеристическая функция случайной величины n раз дифференцируема, причем , где .

Замечание. Необходимо отметить, что функция распределения величины однозначно определяется характеристической функцией. Таким образом, характеристическая функция является законом распределения случайной величины.

 

Законы больших чисел

 

0. 1 Последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… называется сходящейся по вероятности к случайной величине Х, если для любого положительного числа , т.е.

при . Обозначается .

0. 2 Говорят, что последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… удовлетворяют закону больших чисел, если .

Теорема 1. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию DX, справедливо неравенство Чебышёва:

Для . .

{x││x-MX│≥ε}

{x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε} {x││x-MX│≥ε}

.

Таким образом,

.

Теорема 2. (закон больших чисел в форме Чебышёва).

Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной, т.е. . Тогда эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел.

Обозначим через . Нужно доказать, что .

.

Отсюда (т.к. ).

Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли).

Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании, тогда .

Введем случайные величины μ_i—число успехов в i-ом испытании. Тогда .

μi
P	p	q

, (т.к. ).

(т.е. дисперсия ограничена ).

μ₁, μ₂,…, μ_n—независимы. По закону больших чисел в форме Чебышёва .

.

.

В чем смысл закона больших чисел в форме Бернулли?

Пусть в результате эксперимента может произойти или не произойти событие А. P(A)—вероятность события А в одном эксперименте. Эксперимент повторяется N раз, N(A)—число появлений события А в этих N экспериментах.

—относительная частота появления события А.

. N(A)=μ, .

Таким образом, закон больших чисел в форме Бернулли теоретически подтверждает устойчивость относительных частот, т.е. стабилизацию при большом числе испытаний относительной частоты вокруг вероятности (относительная частота ≈Р(А)).