Метод произведения для выборочной средней и дисперсии.

 

 

Метод произведений даёт удобный способ вычисления условных моментов различных порядков для вариационного ряда с равностоящими вариантами. Зная условные моменты, нетрудно найти начальные и центральные эмпирические моменты. В частности, методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется так:

1) в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке;

2) во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают в нижнюю клетку столбца;

3) в третий столбец записывают условные варианты , причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают h равным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0; в клетках над 0 пишут последовательно -1, -2, -3 и т. д., а под 0 – 1,2, 3 …;

4) умножают частоты на условные варианты и записывают их произведение в четвертый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

5) умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведение в пятый столбец; сложив все полученные числа, их суму помещают в нижнюю клетку столбца;

6) умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, и записывают произведения в шестой контрольный столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца.

Замечание1. Целесообразно отдельно складывать отрицательные числа четвертого столбца (их суму записывают в клетку строки, содержащей ложный нуль) и отдельно положительные числа (их сумму записывают в предпоследнюю клетку столбца); тогда

Замечание2. При вычислении произведений 5-го столбца целесообразно числа четвертого столбца умножить на

Замечание3. 6 столбец служит для контроля вычислений: если сумма окажется равной сумме (как и должно быть в соответствии с тождеством = ), то вычисления проведены правильно.

После заполнения таблицы и проверки правильности вычислений, вычисляются условные моменты:

 

И вычисляют выборочные среднюю и дисперсию по формулам:

 

.

 

Пример: Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию следующего статистического распределения:

 

 

	10,2	10,4	10,6	10,8	11,0	11,2	11,4	11,6	11,8

 

Составим расчетную таблицу:

1) записываем варианты в первый столбец;

2) запишем частоты во 2 столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столба;

3) в качестве ложного нуля С=11,0; в клетках пишем цифры от -4 до 5;

4) находим, сумма отрицательных чисел =-46 и сумма положительных =103, =57;

5) находим, умножая 3 на 4 столбец, сумма чисел столбца (383) –в нижней клетке;

6) -6 контрольный столбец; сумму597 чисел столбца помещаем в нижнюю клетку столбца.

Контроль: =383+2*57+100=597.

=597- правильно.

Вычислим условные моменты 1 и 2 порядков:

 

 

Шаг h=10,4-10,2=0,2

Искомые выборочные:

 

 

10,2		-4	-8
10,4		-3	-9
10,6		-2	-16
10,8		-1	-13
11,0
11,2
11,4
11,6
11,8
12,0
	n=100

 

§15. Корреляционная таблица. Вычисления выборочного коэффициента корреляции.

 

 

Пусть имеются результаты наблюдений для случайного вектора (Х, У). При большом объеме выборки одно и то же значение х сл. величины Х может встречаться раз, а одно и то же значение у сл. величины У может встречаться раз, одна и та же пара чисел (х,у) может наблюдаться раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т.е. подсчитывают частоты Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Например,

У
0,4 0,6 0,8	-	-	-	-
					n=60

 

 

В первой строке указаны наблюдаемые значения (10,20,30,40) случайной величины Х, а в первом столбце- наблюдаемые значения (0,4;0,6;0,8) сл.вел-ы У. На пересечении строк и столбцов – частоты наблюдаемых пар значений (X,Y). В последнем столбце—сумма частот по строкам , в последней строке—суммы частот по столбцам В нижнем правом углу таблицы—сумма всех частот . В соответствии с введенными обозначениями, выборочный коэффициент корреляции определяется равенством:

 

где x и y –наблюдавшиеся значения СВ X и Y, n - частота появления пары (x,y); n- объем выборки (сумма всех частот); -выборочные средние квадратические отклонения ( -неисправленные); -выборочные средние. Пусть требуется по данным корреляционной таблицы вычислить выборочный коэффициент корреляции. Можно значительно упростить расчет, если перейти к условным вариантам (при этом не изменяется) ; .

 

В этом случае выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле:

 

Величины можно найти методом произведений. Остается вычислить , где - частота пары условных вариант (u, ). Справедливы формулы

Покажем на примере, как пользоваться формулами.

Пример 1: Вычислить по данным корреляционной таблицы и коэффициент корреляции.

 

Y	/u/ X
-3	-2	-1
-2			--	--	--	--
-1	--			--	--	--
	--	--				--
	--	--
	--	--	--
							n=200

 

Ложные нули =40, =35;

В итоге та же таблица с учетом . Составляем расчетную таблицу:

 

	u
-3	-2	-1
-2	-15 -10	-14 -14	----	-----	-----	-----	-29
-1	-----	-40 -20	-23 -23	-----	-----	-----	-63
	-----	-----	-30			----	-28
	-----	----	-10
	----	----	----
	-10	-34	-13
uV								контроль

 

 

1. Произведение на варианту u—в правом верхнем углу
2. Складывают все эти числа и записывают U
3. Умножают варианту на U и записывают в
4. Находят сумму .Аналогично- для столбцов по

Для определения (5(-3)+27(-2)+63(-1)+29*1+9*2)/200=-0,425

;

;

;