Производная случайного процесса и ее свойства



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Производная случайного процесса и ее свойства



В соответствии с классическим определением, производная случайного процесса X(t) должна быть определена как предел разностного отношения при h→0 в смысле соответствующей сходимости. Можно показать, что сходимость по вероятности обладает рядом недостатков, которые делают этот подход практически бесполезным.

 

Случайный процесс X(t) называется дифференцируемым, если существует случайный процесс X(t) такой, что

При этом случайный процесс X(t ) называется производной случайного

процесса X(t) и обозначается следующим образом:

.

Теорема 1. Математическое ожидание производной случайного процесса

равно производной от математического ожидания самого слу-

чайного процесса:

.

Следствие. .

Теорема 2.Корреляционная функция производной случайного процесса X(t)

равна второй смешанной производной от его корреляционной

функции: .

 

Теорема 3.Взаимная корреляционная функция случайного процесса X(t) и

его производной X(t) равна частной производной его корреля-

ционной функции по переменной, соответствующей производ-

ной: .

 

Интеграл от случайного процесса и его свойства

Интегралом от случайного процесса X(t) на отрезке [0, t] называется предел в среднеквадратичном при λ→0 (n→0)

интегральных сумм

где si ([ti; ti+1+1]); λ=max(ti+1 - ti), i=0,…,n-1.

Теорема 4. Математическое ожидание интеграла от случайного процесса

равно интегралу от его математического ожидания:

, .

Теорема 5. Корреляционная функция интеграла от случайного процесса

X(t)

равна двойному интегралу от его корреляционной функции:

.

Теорема 6. Взаимная корреляционная функция случайного процесса X(t) и

его интеграла равна интегралу от корреляционной функции

случайного процесса X(t):

 

Пример 6. Случайный процесс X(t) имеет вид: X(t)=Ae-t (t≥0), где А - произвольно распределенная непрерывная случайная величина, имеющая конечное математическое ожидание m и конечную дисперсию σ2. Найти характеристики случайных процессов X(t), X(t) и

Решение.

1) Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, корреляционная функция и нормированная корреляционная функция случайного процесса X(t) имеют вид (см. Пример 3):

2) Переходим к расчету характеристик случайного процесса X(t). В соответствии с Tтеоремами 1-3 получаем:

 

За исключением математического ожидания (которое поменяло знак), все остальные характеристики сохранились полностью. Взаимные корреляционные функции случайного процесса X(t) и его производной X(t) имеют вид:

3) В соответствии с Теоремами 41-64 основные характеристики интеграла от случайного процесса X(t) имеют следующие значения:

D (t1;t2)=?????????????

Взаимные корреляционные функции случайного процесса X(t) и его интеграла Y(t):

 

Глава 4. Канонические разложения случайных процессов

Понятие канонического разложения случайного процесса

Случайная величина V называется центрированной, если ее математическое ожидание равно 0. Элементарным центрированным случайным процессом называется произведение центрированной случайной величины V на неслучайную функцию φφ(t): X(t)=V φ(t). Элементарный центрированный случайный процесс имеет следующие характеристики:

 

Выражение вида

,

где φik(t), k=1;2;…-неслучайные функции; Vi, k=1;2;…-некоррелированные центрированные случайные величины, называется каноническим разложением случайного процесса X(t), при этом случайные величины Vi называются коэффициентами канонического разложения; а неслучайные функции φki(t) - координатными функциями канонического разложения.

Рассмотрим характеристики случайного процесса

Так как по условию то

Очевидно, что один и тот же случайный процесс имеет различные виды канонического разложения в зависимости от выбора координатных функций. Более того, даже при состоявшемся выборе координатных функций существует произвол в распределении случайных величин Vк. На практике по итогам экспериментов получают оценки для математического ожидания и корреляционной функции: . После разложения в двойной ряд Фурье по координатным функциям φк(t):

получают значения дисперсий DVk случайных величин Vk.

 

Пример 7. Случайный процесс Х(t) имеет следующее каноническое разложение: , где Vk-нормально распределенные некоррелированные случайные величины с параметрами (0; σк); m0(t) - неслучайная функция. Найти основные характеристики случайного процесса Х(t), включая плотности распределения.

 

Решение.

Из полученных ранее общих формул имеем:

В каждом сечении случайный процесс Х(t) имеет нормальное распределение, так как является линейной комбинацией некоррелированных нормально распределенных случайных величин Vk, при этом одномерная плотность распределения имеет вид:

Двумерный закон распределения также является нормальным и имеет следующую двумерную плотность распределения:

 

Пример 8.Известныо математическое ожидание mX(t) и корреляционная функция КX(t1;t2)=t1t2 случайного процесса Х(t), где . Найти каноническое разложение Х(t) по координатным функциям при условии, что коэффициенты разложения Vk - нормально распределенные случайные величины.

 

Решение.

Корреляционная функция имеет следующее разложение

,

следовательно,

;

;

 

;

Так как ,

то ; .

 

Плотность распределения случайных величин Vk:

Каноническое разложение случайного процесса Х(t) имеет вид:

.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.117.38 (0.01 с.)