Производная случайного процесса и ее свойства

В соответствии с классическим определением, производная случайного процесса X(t) должна быть определена как предел разностного отношения при h→0 в смысле соответствующей сходимости. Можно показать, что сходимость по вероятности обладает рядом недостатков, которые делают этот подход практически бесполезным.

 

Случайный процесс X(t) называется дифференцируемым, если существует случайный процесс X^’(t) такой, что

При этом случайный процесс X^’(t) называется производной случайного

процесса X(t) и обозначается следующим образом:

.

Теорема 1. Математическое ожидание производной случайного процесса

равно производной от математического ожидания самого слу-

чайного процесса:

.

Следствие. .

Теорема 2. Корреляционная функция производной случайного процесса X(t)

равна второй смешанной производной от его корреляционной

функции: .

 

Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случайного процесса X(t) и

его производной X^’(t) равна частной производной его корреля-

ционной функции по переменной, соответствующей производ-

ной: .

 

Интеграл от случайного процесса и его свойства

Интегралом от случайного процесса X(t) на отрезке [0, t] называется предел в среднеквадратичном при λ→0 (n→0)

интегральных сумм

где s_i ([t_i; t_i+1+1]); λ=max(t_i+1 - t_i), i=0,…,n-1.

Теорема 4. Математическое ожидание интеграла от случайного процесса

равно интегралу от его математического ожидания:

, .

Теорема 5. Корреляционная функция интеграла от случайного процесса

X(t)

равна двойному интегралу от его корреляционной функции:

.

Теорема 6. Взаимная корреляционная функция случайного процесса X(t) и

его интеграла равна интегралу от корреляционной функции

случайного процесса X(t):

 

Пример 6. Случайный процесс X(t) имеет вид: X(t)=Ae^-t (t≥0), где А - произвольно распределенная непрерывная случайная величина, имеющая конечное математическое ожидание m и конечную дисперсию σ2. Найти характеристики случайных процессов X(t), X^’(t) и

Решение.

1) Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, корреляционная функция и нормированная корреляционная функция случайного процесса X(t) имеют вид (см. Пример 3):

2) Переходим к расчету характеристик случайного процесса X^’(t). В соответствии с Tтеоремами 1-3 получаем:

 

За исключением математического ожидания (которое поменяло знак), все остальные характеристики сохранились полностью. Взаимные корреляционные функции случайного процесса X(t) и его производной X^’(t) имеют вид:

3) В соответствии с Теоремами 41-64 основные характеристики интеграла от случайного процесса X(t) имеют следующие значения:

D (t1;t2)=?????????????

Взаимные корреляционные функции случайного процесса X(t) и его интеграла Y(t):

 

Глава 4. Канонические разложения случайных процессов

Понятие канонического разложения случайного процесса

Случайная величина V называется центрированной, если ее математическое ожидание равно 0. Элементарным центрированным случайным процессом называется произведение центрированной случайной величины V на неслучайную функцию φφ(t): X(t)=V φ(t). Элементарный центрированный случайный процесс имеет следующие характеристики:

 

Выражение вида

,

где φ_ik(t), k=1;2;…-неслучайные функции; V_i, k=1;2;…-некоррелированные центрированные случайные величины, называется каноническим разложением случайного процесса X(t), при этом случайные величины V_i называются коэффициентами канонического разложения; а неслучайные функции φ_ki(t) - координатными функциями канонического разложения.

Рассмотрим характеристики случайного процесса

Так как по условию то

Очевидно, что один и тот же случайный процесс имеет различные виды канонического разложения в зависимости от выбора координатных функций. Более того, даже при состоявшемся выборе координатных функций существует произвол в распределении случайных величин V_к. На практике по итогам экспериментов получают оценки для математического ожидания и корреляционной функции: . После разложения в двойной ряд Фурье по координатным функциям φ_к(t):

получают значения дисперсий D_Vk случайных величин V_k.

 

Пример 7. Случайный процесс Х(t) имеет следующее каноническое разложение: , где V_k-нормально распределенные некоррелированные случайные величины с параметрами (0; σ_к); m₀(t) - неслучайная функция. Найти основные характеристики случайного процесса Х(t), включая плотности распределения.

 

Решение.

Из полученных ранее общих формул имеем:

В каждом сечении случайный процесс Х(t) имеет нормальное распределение, так как является линейной комбинацией некоррелированных нормально распределенных случайных величин V_k, при этом одномерная плотность распределения имеет вид:

Двумерный закон распределения также является нормальным и имеет следующую двумерную плотность распределения:

 

Пример 8. Известныо математическое ожидание m_X(t) и корреляционная функция К_X(t₁;t₂)=t₁t₂ случайного процесса Х(t), где . Найти каноническое разложение Х(t) по координатным функциям при условии, что коэффициенты разложения V_k - нормально распределенные случайные величины.

 

Решение.

Корреляционная функция имеет следующее разложение

_,

следовательно,

;

;

 

;

Так как ,

то ; .

 

Плотность распределения случайных величин V_k:

Каноническое разложение случайного процесса Х(t) имеет вид:

.