Агрегат как случайный процесс

Если процесс функционирования реальной сложной системы по своему существу носит характер случайного процесса, для агрегата как математической модели системы используются основные понятия теории случайных процессов. Случайный процесс, протекающий в любой физической системе, представляет собой случайные переходы системы из состояния в состояние. Состояние системы может быть охарактеризовано с помощью численных переменных: в простейшем случае – одной, в более сложных – несколькими. Понятие случайного процесса представляет собой обобщение понятия случайной величины. Случайным процессом называется процесс, значение которого при любом фиксированном является случайной величиной . Случайная величина , в которую обращается случайный процесс при , называется сечением случайного процесса, соответствующим данному значению аргумента . Теория случайных процессов бурно развивается в настоящее время. Ее аппарат изложен в обширной литературе. Имеются частные случаи случайных процессов: марковские, полумарковские, винеровские, кусочно-непрерывные и т.п.

Таким образом, можно подвести итог. Существует большое количество форм агрегирования, т.е. объединения частей в целое. Их общность состоит в том, что агрегирование диктуется выбранной моделью описываемой системы. Агрегирование есть установление отношений между агрегируемыми элементами. Наиболее важными видами агрегатов являются агрегаты-структуры, агрегаты-операторы, агрегаты-статистики и случайные процессы.

Метод наименьших квадратов

Зависимость между случайными величинами полностью определяется совместной функцией распределения. Для системы двух случайных величин совместная функция распределения имеет вид: F(x,y). Восстановление совместных функций распределения в практических задачах весьма затруднительно. Поэтому на практике пользуются условными средними m_y и условными дисперсиями s_y². Зависимость дисперсии s_y² от параметра x называется скедастической зависимостью. В реальных практических задачах этой зависимостью пользуются редко. Как было отмечено в начале главы, зависимость условного среднего m_y от x называется регрессией. Запишем зависимость функции отклика y от фактора x в виде функции следующего вида: y=j(x)+e, M(e) = 0. Функция j(x) называется функцией регрессии случайной величины Y от X, а график этой функции – кривой регрессии Y на X. Для описания того, каким образом функцию j(x) можно оценить по имеющимся парам наблюдений (x_i, y_i) рассмотрим случай, когда

j(x) = ₀ + ₁x.

Модель в этом случае имеет вид:

y_i = ₀ + ₁x_i + e_i, i =1,2,…,n.

Такая модель называется одномерной линейной регрессией. Восстановить модель, значит, определить ее коэффициенты. Для решения этой задачи будем применять метод наименьших квадратов. Рассмотрим функцию

.

Устремим ее к минимуму. Необходимым условием минимума является равенство нулю первых частных производных данной функции по неизвестным параметрам ₀, ₁. Вычисляя производные, получаем следующие выражения:

,

.

После элементарных преобразований получаем

,

.

Решая данную систему уравнений, получаем

,

.

Разделив в последнем выражении числитель и знаменатель на n, получим следующее выражение для оценки коэффициента b₁:

.

Коэффициент можно найти проще по известному , если воспользоваться первым уравнением системы: .

Итак, продемонстрирован способ определения коэффициентов уравнения регрессии в случае одного фактора. Если количество факторов больше одного, процедура оценки аналогичная. Необходимо составлять функцию квадрата отклонения зафиксированных откликов от модели регрессии, определять первые частные производные по оцениваемым параметрам, приравнивать эти производные нулю и решать систему уравнений относительно этих параметров.