Основные подходы к построению математических моделей процессов и систем.

1. Непрерывно-детерминированный подход (D – схемы) основан на использовании систем дифференциальных уравнений в качестве математических моделей. Созданные на основе этого подхода модели исследуются, как правило, аналитическим способом

2. Дискретно-детерминированный подход (F – схемы) реализуется с помощью математического аппарата теории автоматов. Система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Математической моделью при этом подходе является конечный автомат, характеризующийся конечным множеством X входных сигналов, конечным множеством Y выходных сигналов, конечным множеством Z внутренних состояний, начальным состоянием Z0 Z; функцией переходов g(z, x); функцией выходов v(z, x). Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты (примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния). Задается конечный F – автомат таблицей переходов и выходов, либо с помощью графа.

Работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t -м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в (t +1) -м такте в новое состояние z(t+1) и выдачей некоторого выходного сигнала. Например, автомат первого рода (автомат Мили) описывается следующим образом: z(t+1)= g[z(t), x(t)], t =0,1,2,...; y(t)=v[z(t), x(t)], t =0,1,2,...

Автомат, для которого функция выходов не зависит от входной переменной x(t), называется автоматом Мура: y(t)= v[z(t)], t =0,1,2,...

Дискретно-детерминированный подход применяется для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в АСУ. Примеры таких объектов – узлы компьютера, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике связи и т.д.

3. Дискретно-стохастический подход (P – схемы) использует в качестве математического аппарата вероятностные автоматы, которые можно определить как дискретные потактные преобразователи информации с памятью, функционирование которых в каждом такте зависит только от состояния памяти в них и может быть описано статистически. Для такого автомата характерно задание таблицы вероятностей перехода автомата в некоторое состояние и появления некоторого выходного сигнала в зависимости от текущего состояния и входного сигнала. Исследование автомата может проводиться как аналитическими, так и имитационными методами. Этот подход применим для изучения эксплуатационных характеристик производственных объектов (например, надежности, ремонтопригодности, отказоустойчивости и т.п.).

4. Непрерывно-стохастический подход (Q – схема) применяется для формализации процессов обслуживания. Этот подход наиболее известен ввиду того, что большинство производственных (экономических, технических и т.д.) систем по своей сути – это системы массового обслуживания. Типовая математическая схема моделирования таких систем – Q – схема. В любой системе массового обслуживания можно выделить элементарный прибор. Соответственно в этом приборе выделяют некоторой емкости накопитель заявок, ожидающих обслуживания; канал обслуживания; потоки событий: поток заявок на обслуживание, характеризующийся моментами времени поступления и атрибутами (признаками) заявок (например, приоритетами), и поток обслуживания, характеризующийся моментами начала и окончания обслуживания заявок.

5. Сетевой подход (N – схема) используется для формализованного описания и анализа причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно протекает несколько процессов. Самым распространенным в настоящее время формализмом, описывающим структуру и взаимодействие параллельных систем и процессов, являются сети Петри.

6. Обобщенный подход (А – схема) применяется для описания любых видов систем и базируется на понятии агрегативной системы, представляющей собой формальную схему общего вида. При агрегативном описании сложная система разбивается на конечное число частей (подсистем), с сохранением связей, обеспечивающих их взаимодействие. В свою очередь подсистемы также разбиваются на части. Процесс разбиение продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи моделирования удобны для математического описания. В результате сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

Две технологии построения моделей, использующие направленные и ненаправленные графы, составляют основу компьютерного моделирования. Они являются самодостаточными, и, как правило, графический интерфейс той или иной моделирующей программы основан только на одной из них. Однако ни одна из упомянутых технологий построения компьютерных моделей не может зарыть весь спектр потребностей специалистов, поскольку обе характеризуются наборами неперекрывающихся достоинств и недостатков.

Так например, специалисты в теории автоматического регулирования, которым ближе направленные графы (блок-схемы систем), предпочитают не вникать в истинную природу технических систем, а строить модели на основе идентификации их частотных свойств. Итогом такого подхода, как правило, являются ложные по своей природе модели, адекватность которых надо доказывать, но их порядок минимально возможный.

Специалисты же в преобразовании той или иной энергетической материи, предпочитают использовать ненаправленные графы (схемы физические принципиальные), поскольку им важна информация о режимах работы того или иного элемента системы (технического узла). В результате приходится использовать истинные модели, чей порядок в 5..20 раз выше порядка ложных моделей.

Объединение двух технологий построения моделей - это перспективный путь дальнейшего развития компьютерного моделирования. Появление математических блоков в моделирующих программах, использующих схемы физические принципиальные, с одной стороны раскроет "черные ящики", которыми, по-сути, являются все их библиотечные модели технических устройств: транзисторов, двигателей, пневмоцилиндров и пр. С другой стороны будет способствовать более широкому внедрению в практику моделирования ложных моделей, поскольку их прозрачность обеспечит пользователю право выбора

 

43. Математическое моделирование. Аналитические и имитационные модели.

Математическое моделирование — это процесс устано­вления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моде­лью. В принципе, для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами, включая и машинные, должна быть обязательно проведена формализация этого процесса, т. е. построена математическая модель. Исследование математической модели позволяет полу­чать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта, требуемой до­стоверности и точности решения задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект с неко­торой степенью приближения.

Для аналитического моделирова­ния характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соот­ношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т. д.) или логических условий. Аналитическая мо­дель исследуется следующими методами: аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости, связыва­ющие искомые характеристики с начальными условиями, параме­трами и переменными системы; численным, когда, не умея ре­шать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

При имитационном моделировании реализующий мо­дель алгоритм воспроизводит процесс функционирования систе­мы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным преимуществом имитацион­ного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные мо­дели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при анали­тических исследованиях. В настоящее время имитационное моде­лирование — наиболее эффективный метод исследования БС, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проек­тирования.

В имитационном моделировании различают метод статисти­ческого моделирования и метод статистических испытаний (Мон­те-Карло). Если результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели, являются реализациями случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей об­работкой информации. Поэтому целесообразно в качестве мето­да машинной реализации имитационной модели использовать метод статистического моделирования. Первоначально был раз­работан метод статистических испытаний, представляющий со­бой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло). Затем этот прием стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования си­стем, подверженных случайным воздействиям, т. е. появился метод статистического моделирования.

Метод имитационного моделирования применяется для оцен­ки вариантов структуры системы, эффективности различных ал­горитмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено в основу структурного, алгоритмического и парамет­рического синтеза БС, когда требуется создать систему с задан­ными характеристиками при определенных ограничениях. Систе­ма должна быть оптимальной по некоторым критериям эффек­тивности.

 

44. CASE-технологии и их применение в структурном моделировании.

CASE (Computer-Aided Software/System Engineering)-технологии имеют двойное толкование. Sowtware – автоматизация проектирования программного обеспечения.System – концептуальное моделирование сложных структурированных систем.. BPR (Business Process Reengineering) В общем случае CASE техническая совокупность методологии анализа, проектирования, разработки и сопровождения сложных автоматизированных информационных систем. Обычно эта совокупность поддерживающаяся комплексом взаимосвязных средств автоматизации и располагают инструментарием позволяющим автоматизировать процесс проектирования и разработки сложных систем и их программное обеспечение. ER-Win, BR-Win, RationalRose, Paradigm Plus

 

45. Основные направления и характерные черты компьютерного моделирования.

М2 — компьютерное моделирование, когда математическая модель интерпретируется в программу для ЭВМ. КМ разделилось на четыре направления. М2.1 — методы Монте Карло или методы вычислительной математики, использующие методы М1.2 (приближенные численные методы, когда все объекты аппроксимируются числами или их комплектами в принятой числовой сетке, а результаты получаются в виде таблиц или графиков) с учетом возможностей современных компьютеров. Этими методами можно вычислять любые, не берущиеся аналитическим путем, многократные интегралы, решать системы уравнений. М2.2 — методы ИМ (simulation). Позволяет путем многократного повторения набрать необходимые статистические данные и судить о состоянии объекта в различные моменты времени, оценивать выходные характеристики, выбирать оптимальное поведение или проводить сравнение альтернативных вариантов. М2.3 — методы статистической обработки данных моделирования на основе методов планирования эксперимента. Разработаны большое число пакетов прикладных программ (ППП), которые условно можно разбить на три группы: — пакеты углубленного статистического анализа, написанные специалистами по статистике для таких же специалистов, с собственным языком, позволяющим программировать новые статистические процедуры (SAS, Statgraphics); — пакеты базовой статистики, ориентированные на пользователей, не являющихся специалистами по статистическому анализу, и содержащие классические методы анализа с дружественным пользовательским интерфейсом в виде многочисленных пояснений, примеров и подсказок, среди них необходимо отметить прекрасный раздел по статистике в ППП MATLAB и ППП «Статистика»; — проблемно ориентированные пакеты, использующие терминологию и критерии в данной предметной области (экология, медицина и т. п.). М2.4 — комплексы ИМ, объединяющие все названные виды КМ, пользовательский интерфейс, автоматизированные системы поддержки принимаемых решений и т. д. Это перспективное развивающееся направление предназначено для исследования сложных систем. Анализ чувствительности, изменение выходных характеристик, определение областей устойчивости и степень робастности, оптимизацию параметров, оценку вариантов построения и т. д. КМ объединяет достижения математического моделирования, системного программирования и информационных технологий. Итак, КМ обладает: • способностью понимать, интерпретировать и использовать формализованную и не формализованную информацию (математические формулы, логические правила, вербальные описания и т. п.); • обладает различными формами представления данных и знаний, т.о. заполняя пространство между ММ с его аналитическими формами описания и искусственным интеллектом с его формами и правилами представления знаний; • способностью участвовать в процессе не только автоматизации научных исследований за счет использования самой ЭВМ для модификации различных режимов применения КМ, но и интеграции всех этапов жизненного цикла системы путем использования быстро развивающихся методов ИТ (широко распространенные во всем мире CASE технологии, технологии ICAM и IDEF); • возможностью расширения круга пользователей, от узкого круга специалистов математиков и профессиональных программистов до большого класса исследователей, не обладающих профессиональными знаниями в областях математики и программирования, но хорошо знающих предметную область и умеющих обращаться с ППП. Помня, что КМ разделяется на четыре подгруппы, следует иметь в виду, что обычно при использовании ЯИМ приходится обращаться и к методам Монте Карло, и к возможностям ППП, созданных для обработки статистических данных.