Проверка адекватности модели

Важный вопрос, который интересует исследователя после вычисления коэффициентов уравнения регрессии, это проверка адекватности модели. В качестве примера, иллюстрирующего необходимость решения вопроса об адекватном описании результатов наблюдений соответствующими моделями, рассмотрим два рисунка с одинаковым расположением экспериментальных точек и, следовательно, одинаковым разбросом относительно линии регрессии, но с различным средним разбросом в экспериментальных точках факторного пространства. Разброс в точках показан отрезками прямых, численно равных величине доверительного интервала, построенного для функции отклика.

Линейная модель регрессии адекватна в первом случае (рис. а), т. к. разброс в точках того же порядка, что и разброс относительно линии регрессии. Во втором случае требуется более сложная модель, чтобы точность ее предсказания была сравнима с точностью эксперимента. Примеры графиков функций и доверительных интервалов, построенных для экспериментальных точек откликов, изображенные на рис. 2.3 характеризует ситуацию, когда в каждой точке факторного пространства (на разных уровнях факторов) проводятся опыты повторения. Обозначим через N количество уровней факторного пространства, через n число опытов повторений, проводимых на каждом уровне факторного пространства. На рисунке 2 а. доверительный интервал больше, чем на рисунке 2 б., следовательно, количество опытов повторений в первом случае меньше, чем во втором. Для характеристики среднего разброса относительно линии регрессии используют остаточную сумму квадратов отклонений откликов, зафиксированных в различных точках-уровнях факторного пространства (экспериментальные данные), от модельных значений функции, рассчитанных в этих точках, отнесенную к числу степеней свободы. Число степеней свободы в данном случае будет равно разнице между количеством уровней факторного пространства и числом коэффициентов, которые вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга: f = N-(p+1). Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы, называется остаточной дисперсией или дисперсией адекватности.

 

y y

 

 

* *

* * * *

* * * *

* *

* *

 

0 x 0 x

а) доверительный интервал большой б) доверительный интервал маленький

 

Рисунок 2. Иллюстрация влияния величины доверительного интервала на адекватность модели

 

Она определяется по формуле:

,

где - значение функции отклика, рассчитанное на основании модели, - опытное значение функции отклика, рассчитанное на основании результатов наблюдения как среднее арифметическое. Для проверки гипотезы об адекватности модели необходимо вычислить также дисперсию воспроизводимости

,

где - значение функции отклика, зафиксированное в j-м опыте на i-м уровне фактора.

Далее необходимо воспользоваться критерием Фишера: . Если значение статистики Фишера окажется меньше табличного значения для уровня значимости и степеней свободы , то уравнение регрессии адекватно эксперименту.

 

Задание по лабораторной работе№2

На основании результатов моделирования, проведенного при выполнении предыдущей работы провести анализ качества построенной регрессионной модели, а именно: провести интервальное оценивание выходной характеристики, рассчитать значимость параметров модели, и провести проверку адекватности модели.