Лабораторная работа 1. Идентификация агрегатов.

Лабораторная работа 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ АГРЕГАТОВ.

 

Агрегаты-структуры

Важной формой агрегирования является образование структур. Как и любой вид агрегата, структура является моделью системы и определяется совокупностью: объект, цель и средства моделирования. В результате получается многообразие типов структур: сетевые, древовидные, матричные. При синтезе создается структура будущей системы. Если это реальная система, то в ней установятся не только те связи, которые заложены в ходе проектирования, но и те, которые возникают из самой природы сводимых в систему элементов. Вспомним пример с подсистемами системы управления и защиты энергоблока АС. Функциональное дублирование возникает ввиду наличия соответствующих физических процессов, происходящих в установке, существует объективно, получается само собой.

Далее, говоря об агрегатах-структурах, следует отметить, что при проектировании системы важно задать ее структуру во всех существенных отношениях. Рассмотрим пример, иллюстрирующий данный тезис. При проектировании радиотехнических приборов требуется разработка нескольких видов структур, а именно, блок-схема, принципиальная и монтажная схемы. Блок-схема определяется выпускаемыми промышленностью радиоэлементами, и прибор, в целом, делится на такие элементы. Принципиальная схема предполагает совершенно иное деление, т. к. она должна объяснять функционирование этого прибора. На ней выделены функциональные единицы - конденсаторы, диоды, транзисторы, которые могут не иметь пространственно локализованных аналогов, т.е. в реальности они выполнены в виде интегральных схем. Далее монтажная схема является результатом представления пространственной геометрии прибора, в пределах которого производится его монтаж. Таким образом, проект любой системы должен содержать разработку стольких структур, на скольких языках эта система описывается. Например, в организационных системах можно выделить иерархическую структуру подчиненности, структуру циркуляции информации, структуру производственного процесса и т.д. Эти структуры могут существенно отличаться топологически, но все они описывают с разных сторон одну и ту же систему и поэтому не могут быть не связаны между собой.

Агрегаты-операторы

Тип агрегата-оператора имеет место тогда, когда агрегируемые признаки фиксируются в числовых шкалах. В этом случае задается отношение на множестве признаков в виде числовой функции многих переменных, которая и является агрегатом. Основное применение агрегаты-операторы находят при описании динамических свойств системы. Представление зависимости выходных показателей системы в виде функционала от входных переменных есть пример агрегата-оператора.

Рассмотрим формализованное определение агрегата-оператора. Пусть - множество моментов времени, - множество входных сигналов, - множество сигналов управления, - множество выходных сигналов, - множество состояний системы. Элементы указанных множеств назовем - моментом времени, - входным сигналом, - управляющим сигналом, - выходным сигналом, - состоянием системы. Все перечисленные сигналы будем рассматривать как функции времени . Под агрегатом-оператором будем понимать объект, определяемый множествами и операторами и , которые являются оператором переходов и оператором выходов . Данные операторы реализуют соответственно функции и .

Рассмотрим оператор переходов . Пусть даны состояния системы в моменты времени и , т.е. предполагается, что система за время переходит из состояния в состояние . Если известно, что в момент времени в систему поступают входные сигналы и управление , то оператор переходов однозначно определяет состояние системы в следующий момент времени :

.

Аналогично оператор выходов однозначно определяет значения выходных характеристик системы и выражается следующим образом:

.

Если для системы удается представить зависимость ее выходных и входных параметров, управляющие воздействия и состояния в виде агрегата-оператора, то получается довольно хорошо формализованная математическая модель. Ограничивающим фактором для решения такого рода моделей, как правило, является только лишь большая размерность входящих в нее параметров.

 

Агрегаты-статистики

Процессы функционирования реальных сложных систем во многих случаях носят случайный характер. Выходные характеристики таких систем принимают случайные значения из множества величин, описываемых некоторой функцией распределения , где - вектор параметров закона распределения, - некоторый момент времени. Если элементы вектора параметров функции распределения выражаются через достаточные статистики, тогда нет необходимости хранить всю информацию о реализованных характеристиках системы. Эту информацию можно заменить оценками параметров, полученными по реализовавшимся результатам наблюдений. Достаточные статистики - это агрегаты, которые извлекают всю полезную информацию об интересующем параметре из совокупности наблюдений. Примерами достаточных статистик являются параметры нормального закона распределения - математическое ожидание и дисперсия, параметр экспоненциального закона распределения - - характеристика. Использовать достаточные статистики необходимо с большой осторожностью. Их применение оправдано только в том случае, когда обоснован вид закона распределения, описывающий совокупность выходных величин. Дело в том, что агрегирование в данном случае является необратимым преобразованием, которое может привести к потере информации. Например, по сумме нельзя восстановить совокупность случайных величин слагаемых суммы.

Стохастические модели, в основе которых лежат предположения о законе распределения исследуемой случайной величины так же, как и агрегаты-операторы хорошо изучены. Имеется соответствующий математический аппарат, в современных операционных системах представлено обширное прикладное программное обеспечение, позволяющее успешно работать с подобного рода моделями.

Метод наименьших квадратов

Зависимость между случайными величинами полностью определяется совместной функцией распределения. Для системы двух случайных величин совместная функция распределения имеет вид: F(x,y). Восстановление совместных функций распределения в практических задачах весьма затруднительно. Поэтому на практике пользуются условными средними m_y и условными дисперсиями s_y². Зависимость дисперсии s_y² от параметра x называется скедастической зависимостью. В реальных практических задачах этой зависимостью пользуются редко. Как было отмечено в начале главы, зависимость условного среднего m_y от x называется регрессией. Запишем зависимость функции отклика y от фактора x в виде функции следующего вида: y=j(x)+e, M(e) = 0. Функция j(x) называется функцией регрессии случайной величины Y от X, а график этой функции – кривой регрессии Y на X. Для описания того, каким образом функцию j(x) можно оценить по имеющимся парам наблюдений (x_i, y_i) рассмотрим случай, когда

j(x) = ₀ + ₁x.

Модель в этом случае имеет вид:

y_i = ₀ + ₁x_i + e_i, i =1,2,…,n.

Такая модель называется одномерной линейной регрессией. Восстановить модель, значит, определить ее коэффициенты. Для решения этой задачи будем применять метод наименьших квадратов. Рассмотрим функцию

.

Устремим ее к минимуму. Необходимым условием минимума является равенство нулю первых частных производных данной функции по неизвестным параметрам ₀, ₁. Вычисляя производные, получаем следующие выражения:

,

.

После элементарных преобразований получаем

,

.

Решая данную систему уравнений, получаем

,

.

Разделив в последнем выражении числитель и знаменатель на n, получим следующее выражение для оценки коэффициента b₁:

.

Коэффициент можно найти проще по известному , если воспользоваться первым уравнением системы: .

Итак, продемонстрирован способ определения коэффициентов уравнения регрессии в случае одного фактора. Если количество факторов больше одного, процедура оценки аналогичная. Необходимо составлять функцию квадрата отклонения зафиксированных откликов от модели регрессии, определять первые частные производные по оцениваемым параметрам, приравнивать эти производные нулю и решать систему уравнений относительно этих параметров.

Задание по лабораторной работе №1.

 

На вход агрегата (рисунок 1) поступают физические величины , имеющие случайную природу. На выходе наблюдается некоторая величина y, получающаяся в результате преобразования

Агрегат

x1

x2

…

xn

y

.

 

Рисунок 1. Агрегат с входами и выходом

Распределение входных величин известно (задано таблицей 2).

 

На основании заданного закона распределения случайного входа смоделировать по одному значению каждой величины x_i1, i =1, n. Используя регрессионную зависимость, найти значение выхода y₁.

Повторить процедуру k раз.

Заполнить таблицу 1

 

 

Таблица 1

Номер опыта	x1	x2	…	xn	y
	x11	x21	…	xn1	y1
	x12	x22	…	xn2	y2
…	…	…	…	…	…
k	x1k	x2k		xnk	yk

 

Методом наименьших квадратов восстановить оператор выхода.

Таблица 2. Распределение входных величин

Вид закона распределения	Параметр 1	Параметр 2
Нормальное	M=(3-7)	Ϭ=(0.1-0.4)М
Равномерное	М-2 Ϭ	М+2 Ϭ
Экспоненциальное	1/М

 

 

Задание по лабораторной работе№2

На основании результатов моделирования, проведенного при выполнении предыдущей работы провести анализ качества построенной регрессионной модели, а именно: провести интервальное оценивание выходной характеристики, рассчитать значимость параметров модели, и провести проверку адекватности модели.

Задание по лабораторной работе №3.

На основании полученных ранее результатов провести расчеты нижнего и верхнего значений выходного показателя анализируемого агрегата. Провести анализ чувствительности.

Лабораторная работа 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ АГРЕГАТОВ.