Сумма бесконечного (счетного) числа гармоник

гГде U_p и V_p – центрированные некоррелированные случайные величиныСВ,DU_p=DV_p= .

Как и ранее

m_X(t)=m_X;

Запись стационарного случайного процессаССП X(t) в виде суммы гармоник со случайными амплитудами, случайными фазами и фиксированными частотами называется его спектральным разложением данного ССП.

Совокупность дисперсий всех гармоник стационарного случайного процессаССП называется дискретным спектром.

Обычно дискретный спектр изображают в виде набора вертикальных отрезков, откладываемых от оси абсцисс в точках ω_pи имеющих длину .

Если корреляционная функция kK_X(τ) является периодической функцией с периодом 2T, то она может быть легко разложена в ряд Фурье по косинусам:

При этом коэффициенты разложения D_p образуют дискретный спектр, а координатные функции позволяют записать каноническое разложение самого стационарного случайного процессаССП с точностью до m_X.

Очевидно, что если корреляционная функция kK_X(τ) не обладает свойством периодичности, то стационарный случайный процессССП не обладает дискретным спектром. В этом случае ограничиваются разложением корреляционной функции в ряд Фурье на представляющем интерес отрезке [-T; T]. Но следует помнить, что увеличениеив отрезкаок: [-T; T] [-T'; T'], приводитполучаем к совершенно иномуе разложениюе, не совпадающемуе с первоначальным даже на отрезке [-T; T]. Другими словами, нет однозначности в разложении k_X(τ) K_X(τ) на отрезке [-T; T]; вне указанного отрезка вообще отсутствует сходимость к k_X(τ) K_X(τ).

Каноническому разложению стационарного случайного процессаССП X(t) можно придать комплексную форму

где

При этом корреляционная функция k_X(τ) K_X(τ) принимает вид

 

Непрерывный спектр. Спектральная плотность.

Теорема Винера-Хинчина.

Пусть X(t) - стационарный случайный процессССП с непрерывным временем, тогда существует и притом единственная ограниченная монотонно неубывающая функция S*(ω) такая, что корреляционная функция имеет вид.ф. имеет вид:

Если функция S*(ω) дифференцируема:

,

то имеюет место так называемые формулы Винера-Хинчина:

 

Функция S*(ω) называется спектральной плотностью стационарного случайного процессаССП X(t) в комплексной форме.

Функция , ω≥0 называется спектральной плотностью стационарного случайного процесса ССП X(t).

 

Спектральная плотность sS_X(ω) и корреляционная функция kK_X(τ) связаны прямым и обратным косинус-преобразованием Фурье:

; .

 

Функция вида

Называется нормированной спектральной плотностью стационарного случайного процессаССП X(t).

Свойства спектральной плотности, нормированной спектральной плотности, спектральной плотности в комплексной форме.

1)

2)

3) sS_X(ω)≥0; sS_{X норм}(ω)≥0;

4) , то естьт.е. спектральная плотность

является есть плотностью распределения дисперсии стационарного случайно-

го процессаССП по частоте;

5) .

Пусть X(t) и Y(t) – стационарные и стационарно связанные случайные процессыСП со взаимной корреляционной функцией r_XY(τ). Функция sS_XY(ω) вида

ННазывается взаимной спектральной плотностью.

Очевидно, что r_XY(τ) и s S_XY(ω) связаны преобразованием Фурье:

; .

В случае непрерывного спектра стационарный случайный процессССП X(t) имеет следующее интегральное каноническое представление:

,

где U(ω) и V(ω) представляют собой «белый шум», то есть

,

sS_X(ω) – спектральная плотность.

Для наиболее часто встречающихся стационарных случайных процессовССП существуют таблицы соответствия корреляционной функции kK_X(τ) и спектральной плотности (в комплексной форме) (см. Приложение 3).

 

Пример 17. Найти спектральную плотность следующих стационарных случайных процессовССП:

а) - элементарный ССП; ω₀>0; X(t) – элементарный ССП;

б) ;

в) X(t) – стационарный «белый шум»;

г) X(t) – стационарный случайный процессССП из Ппримера 15.

 

Решение.

а)

следовательно,

.

Так как ω₀>0, ω≥0, то ω+ ω₀>0; δ(ω+ ω₀)=0.

Окончательно получаем

sS_X(ω)=σ²δ(ω-ω₀).

Заметим, что в случае ω₀=0:

X’(t)=U; m_X=0; kK_X(τ)=σ²; sS_X(ω)=σ² δ(ω).

 

б) В соответствии с теорией

,

пПоэтому по аналогии с предыдущей задачей получаем

.

Обратите внимание на следующий факт: если случайный процессСП является суммой счетного числа гармоник, то есть имеет дискретный спектр, то спектральная плотность представляет собой линейную комбинацию δ-функций Дирака, принимающих бесконечное значение в точках спектра, а коэффициентами этой линейной комбинации являются соответствующие дисперсии отдельных гармоник.

 

в) Так как X(t) – «белый шум», то

kK_X(τ)=W·δ(τ),

следовательно,

,

где W – интенсивность «белого шума».

 

г) ССПСтационарный случайный процесс X(t) из Примера 15примера обладает следующей корреляционной функцией

,

поэтому спектральная плотность sS_X(ω) имеет вид:

.

Так как

,

то

.

 

6.2. Линейные преобразования стационарного случайного процессаССП

 

Рассмотрим линейное преобразование L_t стационарного случайного процессаССП X(t), имеющего следующее спектральное разложение:

.

Получаем случайный процессСП Y(t):

,

имеющий характеристики

m_Y(t)=M(L_t(m_X))=L_t(m_X);

,

где

=DU_p=DV_p; φ_p(t)=L_t(cosω_pt); ψ_p(t)=L_t(sinω_pt).

В общем случае в результате линейного преобразования стационарного случайного процессаССП X(t) возникает нестационарный случайный процессСП Y(t). Для того, чтобы случайный процессСП Y(t) был стационарен, линейное преобразование L_t должно обладать следующими свойствами

L_t(m_X) – const;

.

Например, случайный процессСП Y(t) будет стационарен, если выполняется любая пара условий

; или

Отметим наиболее важные в практическом отношении линейные операторы.

1.1. Оператор дифференцирования:

 

Очевидно, что

то есть.е. соблюдены все условия, при которых случайный процессСП Y(t) стационарен.

При этом

Данные результаты легко обобщаются на случай :

.

 

2.2. Оператор интегрирования:

Случайный процессСП Y(t) имеет следующую структуру и характеристики:

;

;

.

Очевидно, что случайный процесс СП Y(t) не является стационарным.

 

3.3. Оператор сложения: Z(t)=X(t)+Y(t)

Рассматривается сумма двух стационарных случайных процессовСП X(t ) и Y(t) с известными характеристиками m_X; kK_X(τ); m_Y; kK_Y(τ) и известной взаимной корреляционной функцией R_XY(t₁;t₂).

 

В соответствии с общими формулами получаем:

m_Z(t)=m_X+m_Y – const;

В общем случае случайный процессСПZ(t) не будет стационарным.

Если жеX(t) и Y(t) стационарно связаны

R_XY(t₁;t₂)=rR_XY(τ)

или вообще не коррелированны

R_XY(t₁;t₂)=0,

то случайный процессСП Z(t) стационарен. При этом либо

,

либо

.

 

Пример 18. Найти характеристики случайного процессаСП Y(t):

,

если m_X=0; ; a, λ – const; λ>0.

 

Решение.

Очевидно, что

;

.

Остановимся подробнее на процедуре дифференцированияи:

;

так как , , то

то

Как показано в Ппримере 178 (г2), случайный процессСП X(t) имеет следующую спектральную плотность

,

следовательно,

.

6.3. Преобразование стационарного случайного процесса ССП стационарной

Линейной системой

Известно, что стационарные линейные преобразователи могут быть описаны с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

,

где X(t) – стационарный случайный процесс на входеССП на входе в систему; Y(t ) – стационарный случайный процессССП на выходе, который возникает после переходных осцилляций. В такой постановке начальные значения ССП X(t) при t=0 не играют никакой роли. Для удобства будем полагать

.

После применения преобразования Лапласа получаем:

,

где и - соответственно изображения стационарных случайных процессов ССП X(t) и Y(t).

Для удобства переобозначим

;

тогда

Функция С(р) называется передаточной функцией стационарной линейной системы, а ее оригинал с(t) называется весовой функцией (функцией Грина) стационарной линейной системы.

В соответствии со свойствами преобразования Лапласа между реализациями стационарных случайных процессовССП X(t) и Y(t) имеется следующая зависимость (называемая сверткой функций c(t) и x(t)):

Как было показано ранее, стационарный случайный процесс ССП X(t) имеет следующее каноническое разложение в комплексной форме

,

а его корреляционная функция имеет вид:

.

Рассмотрим реакцию системы на одну из гармоник, составляющих стационарный случайный процессССП, то есть x(t)=e^iωt,. тогда Оочевидно, что выходной сигнал будет иметь вид y(t)=E·e^iωt. Так как , то дифференциальное уравнение принимает вид

где

,

Сследовательно, при возмущающем сигнале e^iωt на выходе получается сигнал

.

Аналогично, при возмущающем сигнале получаем

.

Наконец, для случайного процессаСП

получаем стационарный случайный процессССП Y(t) со следующим спектральным разложением

; .

Выходной сигнал Y(t) имеет следующие характеристики:

;

;

,

где D_n=D(W_n)=D(W_-n); .

Полученный результат допускает простое физическое толкование. При прохождении стационарного случайного процессаССП X(t) через стационарный линейный преобразователь меняются амплитуды дисперсий различных гармоник. Если , то соответствующая дисперсия вырастает; если , то уменьшается. Так как все гармоники имеют математическое ожидание равное 0, то уменьшение дисперсии означает, что эта гармоника фактически удаляетсякак бы удаляется (отфильтровывается) из выходного сигнала.

Таким образомВ практическом отношении, если случайный процессСП Хx(t) и его корреляционная функция заданы в виде спектрального разложения, то приведенные выше формулы полностью решают вопрос о спектральном разложении случайного процессаСП Yy(t) и расчете его характеристик.

Если же известны математическое ожидание , корреляционная функция или спектральная плотность

то далее последовательно находятся

;

и

и дисперсия

.

Для наиболее распространенных выражений составлены таблицы соответствия с .

Пример 19. На вход стационарной линейной системы с передаточной функцией С(р) подается «белый шум» Хx(t) со следующими характеристиками: m_xХ; . Найти характеристики выходного сигнала Yy(t). Рассмотреть частный случай системы, которая описывается следующим дифференциальным уравнением:

 

Решение.

Из общих общенных формул получаем:

чаем:

В частности, для заданной системы получаем

.

Знаменатель дроби может быть разложен на множители:

следовательно,

.

Методом неопределенных коэффициентов данное выражение можно представить как сумму следующих дробей:

.

Спектральная плотность случайного процессаСП Yy(t) имеет вид:

.

По таблице соответствий получаем

 

 

следовательно,

но,

 

Пример 20. На вход линейной стационарной системы

подается случайный сигнал Хx(t), имеющий следующие характеристики с характеристиками: математическое ожидание m_xХ и корреляционную функцию Найти характеристики выходного сигнала Yy(t).

 

Решение.

1. Спектральная плотность случайного процесса СП Хx(t):

2. Передаточная функция и квадрат ее модуля:

3. Спектральная плотность случайного процессаСП Y y(t):

.

Методом неопределенных коэффициентов получаем:

.

По таблице соответствий:

 

 

Задачи для самостоятельного решения

11. Задан случайный процессСП X(t)=f(t; A), где А-дискретная случайная величинаСВ, значения которой указаны в таблицеТаблице 1 (Приложение 1). Изобразить все реализации и сечения в моменты времени, указанные в таблице.

 

№
X(t)	A^t	Asint	log2(t+A)	e^-^At	Alog3(t+1)	cosAt	Acost	A^-^t	sinAt	log2(At+1)
A		-1; 0; 1	1; 4; 8	0; 1; 2	-1; 0; 1	0; 1; 2	-1; 0; 1	1; 2	-1; 0; 1	0; 1; 2
t	0; ; 1		0; 3; 7	0; 1; 3	0; 2; 8	0; ; 1	0;	0; 1; 2	0;	0; 3

 

№
X(t)	tarcsinA	t2+A	arccosA		t+arctgA		t^A	Asin^2t	cos(A+t)
A	-1; 0;	-2; 0; 1	-1; 0; 1	0; 1; 2	- ; 0; 1	0; 1; 2	1; 2; 3	-1; 0; 2		0; e; 4
t	0; 1	0; 1; 2	0; ; 1	; 1; 2	0;	-1; 0; 1	0; ; 1	0;	0;	-1; 0; 1

 

№
X(t)	2^t^-^A	arcsinAt			log3(2t+A)	Atgt	t^3+A		(1+A)^t	tgAt
A	0; 1; 2	0; ; 1	0; 1; 2	0;	1; 3; 9	1; 2; 3	-1; 0; 1	0;	0; 1; 2	0; 1;
t	0; 2; 3	0; ; 1	0; 1; 3	0; 1; 2	0; 1; 4	0;	0; 1; 2	0; 1; 2	0; 1; 2	0;

 

2. Найти математическое ожиданиеожидание, дисперсию, корреляционную функцию, нормированную корреляционную функцию и одномерную плотностьскость (для нормального распределенныхия случайных величин A и B) распределения сечений следующих случайного процесса Х(t),СП структура которого описана в Таблице 2 (Приложение 1). (Вво всех вариантах считать случайные величины A и B независимыми). (Пропуск в таблице означает совпадение законов распределения случайных величин А и В).

 

3. Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию случайных процессов Х(t), , ( см. Таблица 3, Приложение 1). Найти взаимные корреляционные функции случайных процессов Х(t) и ; Х(t) и . Во всех вариантах А – произвольно распределенная случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией .

 

4. Задано ( см. Таблица 4, Приложение 1) каноническое разложение случайного процесса Х(t). Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию, одномерную и двумерную плотности распределения. Во всех вариантах - независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами (0;1).

 

5. Случайный процесс Х(t) ( см. Таблица 5, Приложение 1) имеет известное математическое ожидание и корреляционную функцию . Найти каноническое разложение Х(t) по координатным функциям при условии, что коэффициентами разложения являются нормально распределенные случайные величины .

 

6. Задано (см. Таблица 6, Приложение 1) каноническое разложение случайного процесса Х(t); во всех вариантах - центрированные некоррелированные случайные величины с конечными дисперсиями . Найти математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию и построить каноническое разложение случайного процесса Y(t):

 

7. Доказать, что случайный процесс X(t):

является стационарным в широком смысле и найти его характеристики; - независимые случайные величины;

- равномерно распределенная на отрезке случайная величина; - const. Значения констант А и В взять из Таблицы 6 (Приложение 1).

8. Корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t) имеет вид:

Найти корреляционные функции, дисперсии, взаимные корреляционные функции случайных процессов Х(t); ; Y(t)= . Значения констант А,В,С взять из Таблицы 6 (Приложение 1).

9. Рассматривается простейший поток событий с интенсивностью . В момент наступления очередного события в потоке случайный процесс Х(t) принимает одно из значений непрерывной случайной величины А. Считая все сечения независимыми, найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайного процесса Х(t). Тип и параметры случайной величины А взять из Таблицы 2 (Приложение 1).

10. По графику одной из реализаций эргодического стационарного случайного процесса Х(t) найти приближенные значения математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции (см. Приложение 2). Во всех вариантах считать масштабы осей Ot и OX(t) одинаковыми; .

 

11. Найти спектральную плотность стационарного случайного процесса Х(t), если задана корреляционная функция (см. Таблица 7, (Приложение 1).

 

12. Найти корреляционную функцию и дисперсию стационарного случайного процесса Х(t), если задана его спектральная плотность (см. Таблица 8, Приложение 1).

 

 

№
X(t)	Asint+B	A(t^2+t)+B	e^-^At+B	sinAt+B	Acos2t+B	Asin(t+B)	Asin(2t-B)	Acos(t-B)	Acos(2t+B)	Asint+ +Bcost
A	норм. распред. (0; 1)	норм. распред (а; σ)	равномер. распред [-1; 1]	равномер. распред [2; 4]	норм. распред (0; 1)	норм. распред (а; σ)	норм. распред (а; σ)	норм. распред (а; σ)	норм. распред (а; σ)	норм. распред (0; σ)
B						равномер. распред [0; 2π]	равномер. распред [0; 2π]	равномер. распред [0; 2π]	равномер. распред [0; 2π]

 

№
X(t)	At+Bt^2	Asint+ +Bcost+t	sin At+B	ln(At+1)+ +B	Acost+B	2At+B	e^-2^At+B	cosAt+B	Asin3t+B	Acos(t+B)
A	норм. распред. (0; 1)	норм. распред (а; σ)	равномер. распред [-π; π]	равномер. распред [1; 2]	норм. распред (0; 1)	норм. распред (а; σ)	норм. распред [-1; 1]	норм. распред [0; 2]	норм. распред (0; 1)	норм. распред (a; σ)
B	норм. распред. (0; 2)	норм. распред. (0; 1)	норм. распред. (0; 1)							равномер. распред [0; 2π]

 

№
X(t)	Acos(3t+B)	Asin(t-B)	Asin(3t+B)	Asin2t+ +Bcost	At^3+Bt	cosAt+B	ln(2At+1)++3B	3Acos2t+B	e^-^At+Bt	Acos(2t+B)
A	норм. распред. (а; σ)	норм. распред (а; σ)	норм. распред (а; σ)	норм. распред (а; σ)	норм. распред (0; 1)	равномер. распред [-π; π]	равномер. распред [-1; 2]	норм. распред (0; 1)	равномер. распред [1; 2]	норм. распред (a; σ)
B	равномер. распред [0; 2π]	равномер. распред [0; 2π]	равномер. распред [0; 2π]		норм. распред. (0; 2)	норм. распред. (0; 1)				равномер. распред [0; 2π]

3. Стационарная линейная система описывается следующим дифференциальным уравнением:

 

 

На вход подается стационарный «белый шум» X(t) с характеристиками:

где Wс - интенсивность «белого шума»; δ(τ) - дельта-функция Дирака. Найти характеристики выходного сигнала Y(t).

 

Таблица 9

 

№
A,B,C, D,Е,F, G	1,6,11, ,6,0,1,0	1,7,16, 12,0,0,1	1,-6,12, -8,1,0,1	1,-1,-4, -6,1,0,1	1,-1,-10, ,-8,0,1,1	1,3,0,- -4,1,1,0
№
A,B,C,D,E,F,G	1,9,27, 27,1,1,1,1	1,4,6, 4,2,0,0	1,2,-9, -18,0,2,0	1,-4,-3, 18,0,0,2	3,-9,9, -3,1,0,2	1,5,9, 5,0,1,2
№
A,B,C,D,E,F,G	1,-7,15,- -99,2,1,0	1,9,26, 24,2,0,1	1,6,-3, -10,0,2,1	1,7,2, -40,1,2,0	1,-1,-5, -3,1,0,2	1,-5,-1-1, ,5,1,1,2
№
A,B,C,D,E,F,G	1,12,48, 64,1,2,1	1,1,-10, 10,8,2,1,1	1,4,5, 2,0,1,0	1,-2,-13, -10,0,0,1	1,-2,-16, 16, 32,1,0,0	1,6,9, 4,1,2,0
№
A,B,C,D,E,F,G	1,-1,-17, -15,0,0,2	1,-2,-13, -10,2,0,1	1,-3,-9, -5,0,1,1	1,-15,75, ,-125,2, -1,0	1,-3,-8,-, -10,0,0,2	1,-1,-15, ,-25,2,1,1

 

 

14 4. На вход линейной стационарной системы:

подается стационарный случайный сигнал X(t) с математическим ожиданием m_x и корреляционной функцией kK_xX(τ)=e^-λ|τ|. Найти характеристики выходного сигнала Y(t). Значения коэффициентов A,B,C,D взять из Ттаблицы 9задания 3. в соответствии с номером варианта.

 

 

Приложение 1

 

Таблица 1

 

№
X(t)	A^t	A sint	log2(t+A)	e^-A t	A log3(t+1)	cos(At)	A cost	A^-t
A		-1; 0; 1	1; 4; 8	0; 1; 2	-1; 0; 1	0; 1; 2	-1; 0; 1	1; 2
t	0; ; 1		0; 3; 7	0; 1; 3	0; 2; 8	0;	0;	0; 1; 2

 

 

№
X(t)	t arcsinA	+A	arccos(At)		t+arctgA			A sin^2t
A	-1; 0;	-2; 0; 1	-1; 0; 1	0; 1; 2	- ; 0; 1	0; 1; 2	1; 2; 3	-1; 0; 2
t	0; 1	0; 1; 2	0; ; 1	;1;2	0; ;	-1; 0; 1	0; ; 1	0;

 

 

№
X(t)		arcsin(At)			log3(2t+A)	A tgt	t^3+A
A	0; 1; 2	0; ; 1	0; 1; 2	0;	1; 3; 9	1; 2; 3	-1;0; 1	0;
t	0; 2; 3	0; ; 1	0; 1; 3	0; 1; 2	0; 1; 4	0;	0; 1; 2	0; 1; 2

 

 

№
X(t)	sin(At)