Интегральным каноническим представлением случайного процесса Х(t) называется выражение вида

где - случайная центрированная функция; - неслучайная функция непрерывных аргументов

 

Корреляционная функция такого случайного процесса имеет вид:

.

Можно показать, что существует неслучайная функция G(λ) такая, что

где G(λ₁) - плотность дисперсии; δ(х) - дельта-функция Дирака. Получаем

Следовательно, дисперсия случайного процесса Х(t):

.

 

4.3. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов

 

Рассматривается следующая задача: на вход системы (устройства, преобразователя и т.д.) S подается «входной сигнал», имеющий характер случайного процесса Х(t). Система преобразовывает его в «выходной сигнал» Y(t):

.

Формально преобразование случайного процесса Х(t) в Y(t) может быть описано с помощью так называемого оператора системы А_t:

Y(t)=A_t(Х(t)).

Индекс t показывает, что данный оператор осуществляет преобразование по времени. Возможны следующие постановки задачи о преобразовании случайного процесса.

1. Известны законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t) на входе в систему S, задан оператор А_t системы S, требуется определить закон распределения или общие характеристики случайного процесса Y(t) на выходе системы S.

2. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Х(t) и требования к случайному процессу Y(t); надо определить вид оператора А_t системы S, наилучшим образом удовлетворяющего заданным требованиям к Y(t).

3. Известны законы распределения (общие характеристики) случайного процесса Y(t) и задан оператор А_t системы S; требуется определить законы распределения или общие характеристики случайного процесса Х(t).

Принята следующая классификация операторов А_t системы S:

 

Операторы системы

 

 

Линейные L Нелинейные N

 

 

Линейные однородные L₀ Линейные не однородные L_н

 

 

1. Рассмотрим воздействиеСлучай линейной неоднородной системы

L_н(...)=L₀(…)+φ(t)

на случайный процесс Х(t), имеющий следующее каноническое разложение:

.

Получаем:

введем обозначения

тогда получаем следующее каноническое разложение Y(t) приобретает вид:

.

Математическое ожидание случайного процессаY(t):

корреляционная функция случайного процесса Y(t):

следовательно,

.

С другой стороны

Дисперсия случайного процесса Y(t):

В заключении этого пункта отметим, что операторы дифференцирования и интегрирования случайных процессов являются линейными однородными.

 

2. Рассматривается квадратичное преобразование:

Y(t)=(X(t))², ^, где

V_k-центрированныеие случайные величины, имеющиее симметричное относительно нуля0 распределение; любые четыре из них независимы в совокупности. Тогда

Введем неслучайные функции

и случайные величины

тогда случайный процесс Y(t) приобретает вид

Представляем возможность читателю самостоятельно доказать центрированность и некоррелированность случайных величин V_k; U_k; W_km,; k,m=1,...,n. Это, в свою очередь, означает, что получено каноническое разложение случайного процесса Y(t).

Корреляционная функция Y(t):

 

Дисперсия:

 

Пример 9. Случайный процесс Х(t) имеет следующую структуру

где V_k центрированные некоррелированные случайные величины с дисперсиями ; а_кk –const; kк=1,2…;n. Найти характеристики и составить каноническое разложение случайного процесса Y(t):

Решение.

Очевидно, что Cслучайный процесс Х(t) имеет следующие характеристики:

.

ПосколькуОчевидно также, что случайный процесс Y(t) -является есть результатом преобразования линейнымого однороднымого операторомпреобразования случайного процесса Х(t),; воспользуемся полученными ранее в соответствии с общими формулами: получаем

 

Каноническое разложение случайного процессаСП Y(t y(t) имеет вид:осуществляется с коэффициентами V_k:

.

 

 

Пример 10. Задан случайный процессСП Хx(t) следующего вида:

где U₁,U₂ - независимые нормально распределенные случайные величиныСВ с параметрами (0; 5); . Найти каноническое разложение и характеристики случайного процессаСП Y y(t):

 

Решение.

Так как

тТо случайный процессСП Yy(t) может быть записан в такой форме:

где

Очевидно, что случайные величиныСВ центрированы:

Покажем, что они попарно некоррелированные:. Так как независимы и центрированы, то

ат.к. независимы и центрированы. Аналогично,

Таким образом, получено каноническое разложение случайного процессаСП Yy(t):.

где Так как

Так как в случае нормального распределения

(докажите!)

то(докажите!!!),

То

 

 

Следовательно,