Значения различных средних для эргодических процессов

Это полезно сделать паузу в этом месте для обобщения значений различных средних для эргодического процесса:

1. Среднее 𝑋 (𝑡) = ⟨𝑋 (𝑡)⟩ это постоянная составляющая.

2. ------------постоянного тока

3. -----------это полная мощность

4. это мощность в сети переменного тока (изменяющихся во времени).

5. Общая мощность ----------- сумма переменного тока и постоянного тока.

Таким образом, в случае эргодических процессов, мы видим, что эти моменты являются измеряемыми величинами в том смысле, что они могут быть заменены соответствующими временными средними и конечным временем, приближение к этим временным средним может быть измерено в лаборатории.

Пример 7.2

Чтобы проиллюстрировать некоторые из определений, приведенных выше в отношении корреляционные функции, рассмотрим случайный телеграфный сигнал 𝑋 (𝑡), как показано на рисунке 7.4. Выборочная функция случайного процесса имеет следующие свойства:

1. значения, принимаемые в любой момент времени 𝑡0 𝑋 (𝑡0)= 𝐴 или 𝑋 (𝑡0)= -𝐴 С равной вероятностью

2. Количество 𝑘 коммутационных моментов в любом временном интервале 𝑇 подчиняется распределению Пуассона, как определено в (6.182), с сопутствующими допущениями ведущими к этому распределению. (То есть, вероятность более чем одной мгновенной коммутации, происходящей в малый промежуток времени 𝑑𝑡 равна нулю, вероятность равна единице для мгновенных коммутаций, происходящих в 𝑑𝑡 будет α 𝑑𝑡, где α является постоянной. Кроме того, последовательные коммутации являются независимыми.)

Если τ любое положительное приращение времени, то автокорреляционная функция случайного процесса определяется указанными выше свойствами, можно рассчитать:

𝑅𝑋(𝜏) = 𝐸[𝑋 (𝑡) 𝑋(𝑡 + 𝜏)]

= 𝐴2 𝑃 [𝑋 (𝑡) и 𝑋(𝑡 + 𝜏) имеют одинаковый знак]

+(−𝐴2)𝑃 [𝑋 (𝑡) и 𝑋(𝑡 + 𝜏) имеют разные знаки]

= 𝐴2 𝑃 [четное число коммутации моментов в (𝑡, 𝑡 + 𝜏)]

−𝐴2 𝑃 [нечетное число коммутации моментов в (𝑡, 𝑡 + 𝜏)]

Рисунок 7.4 Пример функции случайного телеграфного сигнала.

(7.19)

Предыдущее выражение было проведено в предположении, что τ был положительным. Это может переписать аналогичным образом с τ отрицательным, так что:

(7.20)

Это результат, который имеет место для всех τ. То есть, 𝑅𝑋 (τ) является четной функцией τ, которую в общем мы покажем в ближайшем изложении.

Корреляция и спектральная плотность мощности

Автокорреляционная функция, вычисленная как статистическое среднее, была определена в (7,6). Если процесс эргодический, функция автокорреляции вычисляется как среднее время, как первое определённое в главе 2, равна статистическому среднему (7,6). В главе 2 мы определили спектральную плотность мощности 𝑆 (𝑓) как преобразование Фурье для автокорреляционной функции 𝑅 (τ). Теорема Винер - Хинчина является формальной постановкой этого результата для стационарных случайных процессов, для которых 𝑅 (𝑡1, 𝑡2) = 𝑅 (𝑡2 - 𝑡1) = 𝑅 (τ). Такие процессы, ранее были определены, как стационарные в широком смысле, спектральная плотность мощности и автокорреляционной функции Фурье-преобразования пары. То есть,

(7.21)

Если процесс эргодичен, то 𝑅 (τ) может быть рассчитана либо как время, либо как в среднее ансамбля.

Так как 𝑅𝑋 (0) = 𝑋2 (𝑡) является средней мощностью в этом процессе, то от обратное преобразование Фурье мы имеем 𝑆𝑋 (𝑓), что

(7.22)

имеет смысл, так как определением 𝑆𝑋 (𝑓) является то, что плотность мощности зависит от частоты.

Спектральная плотность мощности

Интуитивно понятно, но в некоторых случаях полезно вычислить, выражение для мощности спектральная плотность стационарного случайного процесса, оно может быть получено следующим образом. Рассмотрим конкретную функцию вида, 𝑛 (𝑡, ζ𝑖), стационарного случайного процесса. Чтобы получить функцию, дающую плотность мощности в зависимости от частоты используем преобразования Фурье, мы считаем, усеченный вариант, 𝑛𝑇 (𝑡, ζ𝑖), определяется как

(7.23)

Выборочные функции стационарных случайных процессов являются сигналами питания, преобразований Фурье для 𝑛 (𝑡, ζ𝑖) не существует, потому что оно требует определения 𝑛𝑇 (𝑡, ζ𝑖). Преобразование Фурье усечённой функции образца

(7.24)

и его спектральная плотность энергии, в соответствии с уравнением (2,90), определяется как || 𝑁𝑇 (𝑓, ζ𝑖) ||. Время средней плотности мощности на интервале [-1/2𝑇, 1/2𝑇] используется для этой функции образца || 𝑁𝑇 (𝑓, ζ𝑖) ||2 / 𝑇. Поскольку на этот раз, средняя плотность мощности зависит от конкретной функции выбранного образца, мы выполняем усреднение по ансамблю и переходим к пределу 𝑇 → ∞, для получения распределения плотности мощности с частотой. Это определяется как спектральная плотность мощности 𝑆𝑛 (𝑓), она может быть выражена как

(7.25)

Операции взятия предела и взятие среднего по ансамблю в (7.25) нельзя менять местами.

Пример 7.3

Найдем спектральную плотность мощности случайного процесса, рассмотренную в примере 7.1, используя (7.25). В этом случае,

(7.26)

По теореме о времени задержки преобразований Фурье и с использованием пары преобразований

(7.27)

мы получаем

(7.28)

Вспомним также, из главы 2 (пример 2.8), что Π (𝑡 / 𝑇) ⟷ 𝑇 sinc𝑇 𝑓, поэтому используем теорему преобразований Фурье,

(7.29)

Таким образом, энергия спектральной плотности усреднённой функции образца является

(7.30)

При получении [|| 𝑁𝑇 (𝑓, Θ) ||2]. Отметим, что

(7.31)

Таким образом, мы получаем

(7.32)

и спектральная плотность мощности является

(7.33)

Тем не менее, представлением дельта-функции является lim𝑇 → ∞ 𝑇 sinc2 𝑇 𝑢 = δ (𝑢). [См рисунок 2.4 (б).] Таким образом,

(7.34)

Средняя мощность ∫ ∞ -∞ 𝑆𝑛 (𝑓) 𝑑𝑓 = ½ 𝐴2, такая же, как полученная в примере 7.1

Теорема Винера - Хинчина

Теорема Винера - Хинчина утверждает, что спектральной плотностью мощности стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразование Фурье соответствующей автокорреляционной функции. Целью данного подраздела, является обеспечение формального доказательства этого утверждения.

Для упрощения обозначений в доказательстве теоремы Винера - Хинчина, перепишем (7,25) как

(7.35)

где для удобства мы отбрасываем вторые интервала 2𝑇 и опустим ζ в аргумент 𝑛2𝑇 (𝑡). Обратите внимание, что

(7.36)

произведение двух интегралов было записано в качестве повторного интеграла. Взяв ансамбль среднего и поменяв местами усреднение и интегрирование, получаем

(7.37)

Figure 7.5

согласно определению автокорреляционной функции. Произведем замену переменных 𝑢 = 𝑡 - σ и 𝑣 = 𝑡, теперь обратимся к рис 7,5. В 𝑢𝑣 плоскости мы интегрируем по 𝑣, а затем по 𝑢, разбивая интегрирование по 𝑢 на две интеграла, один для отрицательного 𝑢 и один для положительного 𝑢. таким образом,

(7.38)

Спектральная плотность мощности в силу (7.35),

(7.39)

которая является пределом 𝑇 → ∞ результат (7.21).

Пример 7.4

Поскольку спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция Фурье-преобразование пары, автокорреляция функции случайного процесса, определена в примере 7.1, а из результата примера 7.3, дается

(7.40)

Вычисляя 𝑅𝑛 (τ), при усреднении по ансамблю, мы получим

(7.41)

что то же самое, что и результат, полученный с помощью теоремы Винера – Хинчина.

Свойства автокорреляционной функции

Свойства автокорреляционной функции для стационарного случайного процесса 𝑋 (𝑡) были указаны в главе 2, и в конце раздела 2.6, и все время в среднем теперь может быть заменено статистическими средними. Эти свойства теперь легко доказать.

Свойство 1 говорит, что | 𝑅 (τ) | ≤ 𝑅 (0) для всех τ. Чтобы показать это, рассмотрим неотрицательную величину

(7.42)

где {𝑋 (𝑡)} является стационарным случайным процессом. После возведения в квадрат и почленного усреднения, получим

(7.43)

которая сводится к

(7.44)

потому что 𝑋2 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡 + τ) = 𝑅 (0) на стационарность {𝑋 (𝑡)}.

Свойство 2 говорит, что 𝑅 (-τ) = 𝑅 (τ). Это легко доказать, заметив, что

(7.45)

где была произведена замена переменных 𝑡'= 𝑡 + τ.

Свойство 3 гласит, что Нт | τ | → ∞ 𝑅 (τ) = 𝑋 (𝑡)2, если {𝑋 (𝑡)} не содержит периодического компонента. Чтобы показать это, заметим, что

(7.46)

где второй шаг очевиден, потому что взаимозависимость между 𝑋 (𝑡) и 𝑋 (𝑡 + τ) становится меньше, | τ | → ∞ (если не периодические компоненты отсутствуют), а последний шаг следует из стационарности {𝑋 (𝑡)}.

Свойство 4, в котором говорится, что 𝑅 (τ) является периодическим, если {𝑋 (𝑡)} является периодическим, следует отметить, что по среднему времени определяется автокорреляционная функция, вычисляется по формуле (2.161) что периодичность подынтегрального выражения определяет периодичность 𝑅 (τ).

Наконец, свойство 5, в котором говорится, что ℑ [𝑅 (τ)] неотрицательна, является прямым следствием теоремы Винера - Хинчина (7,21) и (7,25), из которого видно, что мощность спектральной плотности неотрицательна.

Пример 7.5

Процессы, для которых

(7.47)

где 𝑁0 является константой, которую обычно называют белым шумом ограниченной полосы частот, так как 𝐵 → ∞, имеются все частоты, и в этом случае процесс просто называют белым. 𝑁0 является односторонней мощностью спектральной плотности, не ограниченной полосы частот процесса. Для ограниченной полосой частот процесса белого шума,

(7.48)

Поскольку 𝐵 → ∞, 𝑅 (τ) → 1/2

𝑁0δ (τ). То есть, независимо от того, насколько близко мы производим выборку белого шума, на образцах имеется нулевая корреляция. Кроме того, если, процесс является Гауссовым, образцы независимы. Процесс белого шума имеет бесконечную мощность и, следовательно, математическую идеализацию, но тем не менее, полезен в анализе систем.