Глава 5. Стационарные cлучайные процессы

СП

Понятие стационарного случайного процессаССП. Стационарность в

Узком и широком смыслах.

 

Значительное число происходящих в природе событий, в частности, связанных с эксплуатацией технических устройств, носит «почти» установившиейся характер, то есть картина таких событий, подверженных незначительным случайным флуктуациям, тем не менее, в целом с течением времени сохраняется. В этих случаях принятно говорить о стационарных случайных процессах.

Например, летчик выдерживает заданную высоту полета, но разнообразные внешние факторы (порывы ветра, всходящие потоки, изменение тяги двигателей и т.п.) приводят к тому, что высота полета колеблется около заданного значения. Другим примером могла бы служить траектория движения маятника. Если бы он был предоставлен сам себе, то при условии отсутствия систематических факторов, приводящих к затуханию колебаний, маятник находился бы в режиме установившихся колебаний. Но различные внешние факторы (порывы ветра, случайные колебания точки подвеса и т.п.), не меняя в целом параметров колебательного режима, тем не менее делают характеристики движения не детерминированными, а случайными.

 

Стационарным (однородным во времени) называют случайный процессСП, статистические характеристики которого не меняются с течением времени, то естьт.е. являются инвариантными относительно временных и сдвигов.

Различают случайные процессыСП стационарные в широком и узком смысле.

 

Стационарным случайным процессомССП в узком смысле называется случайный процесс ХСП x(t), все вероятностные характеристики которого не меняются со временем, то есть

Таких, что

Выполняется условие

F(t₁; t₂;…;t_n; x₁; x₂;…; x_n)=F(t₁+τ; t₂+τ;…;t_n+τ; x₁; x₂;…; x_n),

и, следовательно, все n-мерные распределения зависят не от моментов времени t₁; t₂;…;t_n, а от n-1 длительности временных промежутков τ_i;:

 

В частности, одномерная плотность распределения вообще не зависит от времени t:

двумерная плотность сечений в моменты времени t₁ и t₂

n-мерная плотность сечений в моменты времени t₁; t₂...; t_n:

Случайный процессСП Хx(t) называется стационарным в широком смысле, если его моменты первого и второго порядка инвариантны относительно временного сдвига, то есть его математическое ожидание не зависит от времени t и является константой, а корреляционная функция зависит только от длины временного промежутка между сечениями:

Очевидно, что стационарный случайный процессССП в узком смысле является стационарным случайным процессомССП и в широком смысле;, обратное утверждение не верно.

 

 

Свойства вероятностных характеристик стационарного случайного

ПроцессаССП

1.

 

2. 3. Корреляционная функция стационарного случайного процессаССП четна:

поскольку она обладает следующей симметрией

4. Дисперсия стационарного случайного процесса ССП есть константа, равная

знзнаачению ее корреляционной функции в точке :

5.

 

6. Корреляционная функция стационарного случайного процессаССП является

положительно определенной, то есть

.е.

Нормированная корреляционная функция стационарного случайного процессаССП также четна, положительно определена и при этом

 

Пример 11. Найти характеристики и сделать вывод о типе случайного процессаСП Хx(t):

гГде U₁ иb U₂ - некоррелированные случайные величиныСВ;

 

Решение.

Следовательно, случайный процесс Х(t) является стационарным в широком смысле. Как следует из Ппримера 10…,, если U₁ и U₂ независимые, центрирование и нормально распределенные случайные величиныСВ, то случайный процессСП также является стационарным в широком смысле.

 

Пример 12. … Доказать, стационарность в широком смыслечто случайного процессаСП Хx(t) является стационарным в широком смысле:

где V и независимые случайные величиныСВ; MV=m_vV - const; - норравномерномально распределенная на отрезке случайная величинаСВ;

 

Решение.

Запишем Хx(t) следующим образом:

Так как случайная величина равномерно распределена на отрезке , то плотность распределения имеет вид:

следовательно,

Получаем

Так как cлучайный процессСП Хx(t) имеет постоянные математическое ожидание и дисперсию, а корреляционная функция является функцией , то вне зависимости от закона распределения случайной величиныСВ V М случайный процессСП Х x(t) является стационарным в широком смысле.