Дискретный спектр стационарной случайной функции

А. Частоты—произвольные числа, количество их конечно.

Пусть стационарная случайная функция X (t)может быть представлена в виде спектрального разложения

причем сохраняются допущения, указанные в начале п. 2 (см. § 1). Найдем дисперсию одной гармоники Х_i (t), учитывая, что случайные величины U_i и V_i, не коррелированы и дисперсии величин с одинаковыми индексами равны между собой: D (U_i) =D (V_i) = D_i:

D [ X_i (t)] =D [ U_i cos ω_it + V_i sin ω_it ]= D [ U_i cos ω_it ]+ D [ V_i sin ω_it ]=cos² ω_itD (U_i)+sin² ω_itD (V_i)=

=(cos² ω_it +sin² ω_it) D_i = D_i.

Итак,

D [ X_i (t)] = D_i. (* *)

Таким образом, дисперсия i -й гармоники спектрального разложения (*) равна дисперсии случайной величины U_i или, что то же, дисперсии случайной величины V_i.

Найдем теперь дисперсию стационарной случайной функции Х (t), приняв во внимание, что слагаемые X_i (t)не коррелированы (см. § 1) и поэтому дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых (см. гл. XXIII, § 15, замечание 2):

Используя (**), окончательно получим

Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник с произвольными частотами, равна сумме дисперсий составляющих ее гармоник.

Дискретным спектром стационарной случайной функции Х (t) вида (*) называют совокупность дисперсий всех составляющих ее гармоник.

Заметим, что поскольку каждой частоте ω_i, можно поставить в соответствие дисперсию D_i, то спектр можно изобразить графически: на горизонтальной оси откладывают частоты ω_i, а в качестве соответствующих ординат ( их называют спектральными линиями) строят дисперсии D_i. Этот дискретный спектр называют линейчатым.

Пример. Построить дискретный спектр стационарной случайной функции

X (t)=[ U₁ cos2 t +V₁sin2 t ]+[ U ₂cos3 t + V sin₂3 t ]+[ U ₃cos4 t + V ₃sin4 t ],

если случайные величины U ₁, U _2, U ₃; V₁, V₂, V₂ не коррелированы, их математические ожидания равны нулю и заданы дисперсии: D (U ₁)= D (V ₁)=5, D (U ₂)= D (V ₂) =6, D (U ₃)= D (V ₃) =4.

Решение. Отложив на горизонтальной оси частоты ω ₁=2, ω ₂=3, ω ₃=4, а на вертикальной оси—соответствующие им ординаты D ₁=5, D ₂=6, D ₃ =4, получим график искомого спектра.

Б. Равноотстоящие частоты, множество их бесконечное (счетное). В предыдущем пункте предполагалось, что число частот в спектральном разложении (*) конечно, а сами частоты—произвольные числа. Теперь рассмотрим спектральное разложение вида

в котором число частот бесконечно (счетно), они равноотстоящие, причем разность любых двух «соседних» частот

Δ ω=ω_i+1 - ω_i =π/ t (i = 1, 2, …),

где Т— действительное положительное число.

Таким образом,

…,

Напишем корреляционную функцию [см. § 1, формула (***)] рассматриваемой стационарной случайной функции Х (t), положив ω_i =π_i/ T n =∞:

(*)

При τ=0, учитывая, что k_x (0) =D_x, получим

(**)

Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы бесконечного (счетного) множества гармоник с равноотстоящими частотами, равна сумме дисперсий слагаемых гармоник (если сумма существует, т. е. ряд (**) сходится).

Заметим, что соотношение (*) можно рассматривать как разложение корреляционной функции в ряд Фурье по косинусам. Из (*) видно, что k_x (τ)—периодическая функция с периодом 2 Т, поэтому коэффициенты Фурье

или, учитывая, что ω_i =π i / Т и подынтегральная функция - четная,

Если каждой частоте ω_i =π i / T (i =1, 2,...) ставить в соответствие дисперсию D_i, то получим, как и в случае конечного числа произвольных частот, дискретный линейчатый спектр, причем число спектральных линий (ординат D _i) бесконечно (счетно) и они равноотстоящие (соседние спектральные линии находятся одна от другой на одном и том же расстоянии Δ ω =π/ T).

Непрерывный спектр стационарной случайной функции.

Спектральная плотность

Среди стационарных случайных функций есть такие функции, корреляционные функции которых нельзя представить в виде

(D_i > 0),

где число слагаемых конечно или счетно. Спектр этих функций не дискретный, а непрерывный. Для рассмотрения стационарных случайных функций с непрерывным спектром необходимо ввести понятие спектральной плотности.

Выше, когда частоты гармоник спектрального разложения стационарной случайной функции были дискретными и равноотстоящими, был получен дискретный линейчатый спектр, причем соседние частоты отличались на величину Δ ω =π/ Т. Пусть Т→∞, тогда Δ ω →0. Ясно, что при этом частота изменяется непрерывно (поэтому обозначим ее через со без индекса), соседние ординаты спектра сближаются и в пределе вместо дискретного спектра мы получим непрерывный спектр, т. е. каждой частоте ω (ω ≥0) соответствует ордината, которую обозначим через s ^* _x (ω).

Хотя отрицательные частоты физического смысла не имеют, для упрощения вычислений целесообразно считать, что частоты изменяются в интервале (-∞,∞), и вместо функции s ^* _x (ω) рассматривать функцию, которая имеет вдвое меньшие ординаты:

s_x (ω)= s^*_x (ω)

Спектральной плотностью стационарной случайной функции Х (t) называют функцию s_x (ω), которая связана с корреляционной функцией k_x (τ) взаимно обратными преобразованиями Фурье:

(*)

(**)

Эти формулы называют формулами Винера—Хинчина. В действительной форме они представляют собой взаимно обратные косинус-преобразования Фурье:

(***)

(****)

Важное значение спектральной плотности состоит в том, что, зная ее, можно найти корреляционную функцию, и обратно (в этом смысле спектральная плотность и корреляционная функция эквивалентны); кроме того, как уже было указано, использование спектральной плотности в ряде случаев значительно упрощает теоретические и практические расчеты.

Подчеркнем, что, как следует из формулы (***), спектральная плотность—четная функция:

s_x(- ω)=s_x(ω).

Выясним вероятностный смысл функции s_x (ω).Положив τ=0 в соотношении (****) и учитывая, что k_x (0) =D_x, s_x (ω)—четная функция, получим

Видим, что дисперсия стационарной случайной функции Х (t) представляет собой «сумму» элементарных дисперсий s_x (ω) dω = s_x (ω)Δ ω; каждая элементарная дисперсия соответствует частичному интервалу частот Δ ω. В частности, частичному интервалу Δ ω=ω_b - ω_a соответствует дисперсия

По теореме о среднем,

D_x= (ω_a - ω_b) s_x (ω_c) = Δ ωs_x (ω _c),

где ω_a < ω_c < ω_b

Отсюда

s_x (ω _c ) =D_x/ Δ ω.

Из этой формулы заключаем:

а) величину s_x (ω_c) можно истолковатькаксреднююплотность дисперсиина частичном интервале Δ ω, содержащем частоту ω_с;

б) при Δ ω →0 естественно считать, что s_x (ω_c) - плотность дисперсии в точке ω_c. Поскольку никаких ограничений на частоту ω_c наложено не было, полученный результат справедлив для любой частоты.

Итак, спектральная плотность описывает распределение дисперсий стационарной случайной функции по непрерывно изменяющейся частоте.

Из вероятностного смысла спектральной функции следует, что спектральная плотность—неотрицательная функция s_x≥0.

Пример 1. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X (t), зная ее корреляционную функцию

Решение. Используя формулу

и учитывая, что |τ| = τ в интервале (0, 2), имеем

Интегрируя по частям, окончательно получимискомуюспектральную плотность: s_x (ω_c) = sin² ω /(π ω ²)

Пример 2. Найти спектральную плотностьстационарнойслучайной функции Х (t), зная ее корреляционную функцию k_x(τ)=De^-α|τ|, α>0.

Решение. Используем формулу

Учитывая, что |τ|= - τ при τ<0, |τ|=τ при τ≥0, получим

k_x (τ) =Dе^ατ при τ<0, k_x (τ) = Dе^-ατ при τ≥0.

Следовательно,

Выполнив интегрирование, найдемискомую спектральную плотность:

Пример 3. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции Х (t), зная ее спектральную плотность

Решение. Используя формулу

и учитывая, что s_x (ω)= ω ₀ в интервале (0, ω ₀), имеем

Выполнив интегрирование, получим искомую корреляционную функцию: