Разыгрывание полной группы событий

Разыгрывание полной группы п (п > 2) несов­местных событий A ₁, A ₂,…, A_n. вероятности которых р ₁, р ₂,…, р_n известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины Х со следующим законом распределения (для определенности примем х ₁ = 1, х ₂ = 2, …, х_n = n);

X			…	n
p	p1	p2	…	pn

Действительно, достаточно считать, что если в испы­тании величина Х приняла значение х_i = i (i= 1, 2, …, п), то наступило событие A_i,. Справедливость этого утвержде­ния следует из того, что число п возможных значений Х равно числу событий полной группы и вероятности воз­можных значений х_i, и соответствующихим событий A_i одинаковы: Р (X == х_i) = Р (A_i)=р_i,. Таким образом, появ­ление в испытании события A равносильно событию, состоящему в том, что дискретная случайная величина Х приняла возможное значение х_i.

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каж­дом из которых наступает одно из событий А ₁, А ₂,…, А_n полной группы, вероятности которых р ₁, р ₂,…, р_n из­вестны, достаточно разыграть (по правилу § 4) дискретную случайную величину Х со следующим законом распреде­ления:

X			…	n
p	p1	p2	…	pn

Если в испытании величина Х приняла возможное зна­чение х_i = i, то наступило событие А_i.

Пример 1. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: р ₁ =Р (A ₁)=0,19, р ₂ =Р (A ₂)=0,21, р₃=Р (A₃)=0,34 р₄=Р (A₄)=0,26. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий.

Решение. В соответствии с правилом, приведенным в настоящем параграфе, надо разыграть дискретную случайную величину X, закон распределения которой

X
p	0,19	0,21	0,34	0,26

По правилу § 4 разобьем интервал (0,1) на четыре частичных интервала: ∆ ₁—(0; 0,19), ∆ ₂,—(0,19; 0,40), ∆₃,—(0,40; 0,74), ∆₄ — (0,74; 1). Выберем из таблицы приложения 9 пять случайных чисел, например: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Так как случайное число r ₁=0,66 gринадлежит интервалу ∆₃, то Х=3, следовательно, наступило собы­тие А₃,. Аналогично найдем остальные события.

Итак, искомая последовательность событий такова:

А₃, А ₂, А₄, А₃, А₃.

Пример 2. События А и В независимы и совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2.

Решение. Возможны 4 исхода испытания:

А ₁ =АВ, причем в силу независимости событий Р (АВ) = Р (А) -Р (В)=0.6·0.2=0,12;

А ₂= , причем Р () = 0,6·0,8 =0.48;

А₃ = , причем Р () = 0,4·0,2 = 0,08;

А₄ = , причем Р () =0,4·0,8 =0,32.

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: А ₁с вероятностью р ₁=0,12, А ₂ с вероятностью р ₂=0,48, А, с вероятностью р₃ = 0,08 и А₄ свероятностью р₄ =0,32.

В свою очередь, в соответствии с правилом настоящего пара­графа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины X, закон распределения которой

X
p	0,12	0,48	0,08	0,032

Используем правило § 4. Выберем 6 случайных чисел, например; 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0,70. Построим частичные интервалы: ∆ ₁—(0; 0,12), ∆ ₂—(0,12; 0,60); ∆₃ —(0,60; 0,68); ∆₄ —(0,68; 1). Слу­чайное число r ₁=0,45 принадлежит интервалу ∆ ₂, поэтому наступило событие А ₂= . Аналогично найдем исходы остальных испытаний.

Итак, искомая последовательность исходов разыгранных испыта­ний такова: , , АВ, , , .

Пример 3. События A и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р (A)=0,6; Р (В)=0,6; Р (AВ)=0,5.

Решение. Возможны 4 исхода испытания:

А ₁ =АВ, причем, по условию, Р (АВ)=0,5;

А ₂= , причем Р () =Р (А) —Р (АВ)=0,8—0,5=0,3;

А₃ = , причем Р () =Р (В) —Р (АВ) = 0,6—0,5==0,1;

А₄ = , причем Р () = 1 — [ Р (А ₁) +Р (А ₂) +Р (А₃)]= 1— (0,5+0,34-0,1)=0.1.

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: А ₁с вероятностью 0,5, А ₂ с вероятностью 0,3, А₃ с вероятностью 0,1 и А₄ с вероятностью 0,1.

Рекомендуем закончить решение самостоятельно, считая для определенности, что выбраны случайные числа: 0,65; 0,06; 0,59; 0,33.

Для контроля приводим ответ: , АВ, , АВ.

Пояснение. Так как А=АВ+ ,то Р (А) =Р (АВ) +Р (). Отсюда Р () =Р (А) —Р (АВ).

Аналогично получим, что Р () =Р (В) —Р (АВ).

 

Разыгрывание непрерывной случайной величины.

Метод обратных функций

Пусть требуется разыграть непрерывную случай­ную величину X, т. е. получить последовательность ее возможных значений x_i (i= 1,2,...), зная функцию распределения F (х).

Теорема. Если r_i,— случайное число, то возможное зна­чение x_i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F (х), соответствующееr_i, является корнем уравнения

F (х_i) =r_i. (»)

Доказательство. Пусть выбрано случайное число r_i (0≤ r_i <1). Так как в интервале всех возможных зна­чений Х функция распределения F (х) монотонно возра­стает от 0 до 1, то в этом интервале существует, причем только одно, такое значение аргумента х_i,, при котором функция распределения примет значение r_i. Другими словами, уравнение (*) имеет единственное решение

х_i=F^{- 1}(r_i),

где F^{- 1} — функция, обратная функции у=F (х).

Докажем теперь, что корень х_i уравнения (*) есть возможное значение такой непрерывной случайной вели­чины (временно обозначим ее через ξ, а потом убедимся, что ξ=Х). С этой целью докажем, что вероятность попа­дания ξ в интервал, например (с, d), принадлежащий интервалу всех возможных значений X, равна прираще­нию функции распределения F (х) на этом интервале:

Р (с<ξ<d) =F (d) —F (с).

Действительно, так как F (х) — монотонно возрастаю­щая функция в интервале всех возможных значений X, то в этом интервале большим значениям аргумента соот­ветствуют большие значения функции, и обратно. Поэтому, если с < х_i < d, то F (c) <r_i<F (d),и обратно [учтено, что в силу (*) F (х_i)= r_i ].

Из этих неравенств следует, чтоесли случайная величина ξ заключена в интервале

с< ξ < d, ξ (**)

то случайная величина R заключена в интервале

F (с) <R<F (d), (***)

и обратно. Таким образом, неравенства(**) и (***) рав­носильны, а, значит, и равновероятны:

Р (с<ξ<d) =Р [ F (с) <R<F (d)]. (****)

Так как величина R распределена равномерно в ин­тервале (0,1), то вероятность попадания R в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (0,1), равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание). В частности,

Р [ F (с) <R<F (d) ] =F (d) - F (с).

Следовательно, соотношение (****) можно записать в виде

Р (с<ξ<d) = F (d) - F (с).

Итак, вероятность попадания ξ в интервал (с,d) равна приращению функции распределения F (х) на этом интер­вале, а это означает, что ξ=Х. Другими словами, числа х_i, определяемые формулой (*), есть возможные значения величины Х с заданной функцией распределения F (х), что и требовалось доказать.

Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение х_i, непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число r_i приравнять его функции распределения и решить отно­сительно х_i, полученное уравнение

F (х_i) = r_i.

Замечание 1. Если решить это уравнение в явном видене удается, то прибегают к графическим или численным методам.

Пример I. Разыграть 3 возможных значения непрерывной слу­чайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).

Решение. Напишем функцию распределения величины X, рас­пределенной равномерно в интервале (а, b) (см. гл. XI, § 3, пример):

F (х) = (х-а) / (b-а) .

По условию, а = 2, b =10, следовательно,

F (х) = (х- 2) / 8.

Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение для отыскания возможных значений х_i, для чего приравняем функцию распределения случайному числу:

(х_i -2) /8=r_i.

Отсюда х_i=8 r_i+ 2.

Выберем 3 случайных числа, например, r_i =0,11, r_i =0,17, r_i =0,66. Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно х_i, в итоге получим соответствующие возможные значения X: х ₁=8·0,11+2==2,88; х ₂=1.36; х₃= 7,28.

Пример 2. Непрерывная случайная величина Х распределенапопоказательному закону, заданному функцией распределения (параметр λ > 0 известен)

F (х) = 1 - е^-λх (х>0) .

Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных зна­чений X.

Решение. Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение

1 - е^-λхi

Решим это уравнение относительно х_i:

е^-λхi= 1 - r_i, или -λх_i=ln (1 - r_i).

Отсюда

х_i = 1п (1 – r_i)/λ .

Случайное число r_i заключено в интервале (0,1); следовательно, число 1 - r_i, также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Дру­гими словами, величины R и 1 - R распределены одинаково. Поэтому для отыскания х_i можно воспользоваться более простой формулой:

x_i=-ln r_i /λ.

Замечание 2. Известно, что (см. гл. XI, §3)

В частности,

Отсюда следует, что если известна плотность вероятности f (x), то для разыгрывания Х можно вместоуравнений F (x_i)= r_i решить относительно x_i уравнение

Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение х_i (непрерывной случайной величины X, зная ее плот­ность вероятности f (x) надо выбрать случайное число r_i и решить относительно х_i, уравнение

Или уравнение

где а— наименьшее конечное возможное значение X.

Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х f (х) =λ (1 —λх /2) в интервале (0; 2/λ); вне этого интер­вала f (х) = 0. Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

Решение. Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение

Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно х_i, окончательно получим

 

Метод суперпозиции

Пусть функция распределения разыгрываемой случайной величины Х может быть представлена в виде линейной комбинации двух функций распределения:

F (х) =С ₁ F ₁(х) + С ₂ F ₂(х)(С ₁>0, С₂>0).

При х→∞ каждая из функций распределения стремится к единице, поэтому С₁+С₂=1.

Введем вспомогательную дискретную случайную вели­чину Z. с законом распределения

Z
p	C1	C2

Мы видим, что

Р(Z -1)=С₁, Р(Z =2)=С₂,. (*)

Выберем два независимых случайных числа r ₁ и r ₂По числу r ₁ разыгрываем возможное значение Z. (см. § 4). Если окажется, что Z =1, то ищут искомое возможное значение Х из уравнения F ₁(х) =r ₂, если Z =2, то ре­шают относительно х уравнение F ₂(х) =r ₂.

Докажем, что функция распределения разыгрываемой случайной величины равна заданной функции распреде­ления. Воспользуемся формулой полной вероятности (см. гл. IV, § 2)

Р (А) =Р (В ₁) Р_{B 1}(А) +Р (В ₂) Р_{B 2}(A). Обозначим через А событие Х < х; тогда

Р (А) =Р (Х<х) =F (х). (**)

Рассмотрим гипотезы В ₁: Z=1 и В ₂: Z =2. Вероятности этих гипотез в силу (*):

Р (В ₁)= Р (Z =1)= С ₁ и Р (В ₂) =Р (Z=2) =С ₂. (***)

Условные вероятности появления события А соответ­ственно равны:

P_{B 1}(А)= Р_{B 1}(X<х)= F ₁(х) и P_{B 2}(А)= Р_{B 2}(X<х)= F ₂(х) (****)

Подставив (**), (***) и (****) в формулу полной вероят­ности, окончательно получим

F (х) =С ₁ F ₁(х) +С ₂ F ₂(х),

что и требовалось доказать.

Замечание. Метод суперпозиции обобщается на n слагаемых функций распределения.

Правило. Для того чтобы разыграть возможное зна­чение случайной величины X, функция распределения которой

F (х) =С ₁ F ₁(х) +С ₂ F ₂(х),

где С ₁>0, С ₂>0 и С ₁+ С ₂ = 1, надо выбрать два неза­висимых случайных числа r ₁ и r ₂и по случайному числу r ₁ разыграть возможное значение вспомогательной дискрет­ной случайной величины Z. (по правилу § 4):

Z
p	C1	C2

 

Если окажется, что Z =1, то решают относительно х уравнение F ₁(х) =r ₂, если Z =2, то решают уравнение F ₂(х) =r ₂.

Пример. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения

F (х) = 1—0,25(е^{- 2 x}+ 3 е^-х), 0<х<∞.

Решение. Воспользуемся методом суперпозиции, длячегопредставим заданную функцию в виде

F (х) = 0,25(1 - е^{- 2 x})+0,75(1 -е^-х).

Таким образом, можно принять:

F ₁(х) = 1 - е^{- 2 x}, F ₂(х) = 1 -е^-х, C ₁=0.25, C ₂=0,75.

Введем в рассмотрение вспомогательную дискретнуюслучайнуювеличину Z с законом распределения

Z
p	0,25	0,75

 

Выберем независимые случайные числа r ₁и r ₂. Разыграем Z по случайному числу r ₁, для чего по правилу § 4 построим частичные интервалы ∆ ₁—(0; 0,25), ∆ ₂—(0,25; 1). Если r ₁<0,25, то Z =1,если r ₁ ≥ 0,25, то Z =2.

Итак, возможное значение Х находят, решая относительно х уравнение

1 - е^{- 2 х} = r ₂, если r ₁<0,25;

или

1 - е^-x=r ₂, если r ₁ ≥ 0,25.

Используя решение примера 2 (см. § 7), в котором была найдена явная формула х= - (1/ λ) 1п r для разыгрывания возможных значений показательного распределения с заданным параметром λ, окончательно получим:

x = - (1/2) 1п r ₂, если r ₁ < 0,25;

х= - 1п r ₂, если r ₁ ≥ 0,25.