Представление стационарной случайной функции в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами

 

В этой главе вводится новая характеристика стационарной случайной функции— спектральная плотность, которая упрощает теоретические и практические

расчеты. В частности, используяее, можно найти характеристики выходной функции стационарной линейной динамической системы по известным характеристикам входной функции (см. § 8).

Далее будет показано, что стационарную случайную функцию, вообще говоря, можно представить в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами.

1. Рассмотрим случайную функцию вида

Z (t)= U cos ωt + V sm ωt, (*)

где ω —постоянное действительное число; U и V— некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями: m_u=m_v= 0, D_u=D_v=D.

Преобразуем правую часть соотношения (*):

Положив U/V = tg φ и выполнив элементарные выкладки, получим

где φ = arctg(U/V).

Отсюда следует, что случайную функцию Z (t)= U cos ωt+V sm ωt можно истолковать как гармоническое колебание со случайной амплитудой случайной фазой ωt +arctg(U/V) и частотой ω.

Заметим, что, по допущению, m_u=m_v= 0, поэтому U и V— центрированные случайные величины: и

Легко убедиться, что m_z (t) = 0. Следовательно, Z (t) — центрированная случайная функция:

Покажем, что Z(t)= U cos ωt + V sin ωt — стационарная случайная функция. Действительно, математическое ожидание m_z (t)=0, т.е. постоянно при всех значениях аргумента. Найдем корреляционную функцию, приняв во внимание, что :

Выполнив элементарные выкладки *, получим

Итак, корреляционная функция случайной функции Z (t) зависит только от разности аргументов, а ее математическое ожидание постоянно. Следовательно, Z (t) — стационарная случайная функция, что и требовалось доказать.

2. Рассмотрим теперь случайную функцию Х (t), которая является суммой конечного числа слагаемых вида (*):

(**)

где случайные величины U_i и V _i, не коррелированы,ихматематические ожидания равны нулю и дисперсии величин с одинаковыми индексами равны между собой:

D (U_i) =D (V_i) =D.

Заметим, что Х (t) — центрированная функция, т.е. Действительно, математическое ожидание каждого слагаемого суммы (**) равно нулю; следовательно, математическое ожидание m_x (t) этой суммы также равно нулю и, значит,

Докажем, что функция X (t) вида (**)—стационарная. Действительно, математическое ожидание m_x (t) = 0при всех значениях аргумента, т.е. постоянно. Кроме того, слагаемые суммы (**) попарно не коррелированы (см. далее пояснение), поэтому корреляционная функция этой суммы равна сумме корреляционных функций слагаемых (см. гл. XXIII, § 15, следствие 1 из теоремы 2). В п. 1 доказано, что корреляционная функция каждого слагаемого (**) зависит только от разности аргументов t ₂ – t ₁. Следовательно, корреляционная функция суммы (**) также зависит только от разности аргументов:

При выкладках следует учесть, что, по условию, а так как , , то . Случайные величины U и V не коррелированы, поэтомуих корреляционный момент

или

(***)

где τ= t ₂ – t ₁.

Таким образом, случайная функция Х (t) вида (**) есть стационарная функция (разумеется, должны выполняться условия, указанные в п. 2).

Принимая во внимание, что (см. п. 1)

где φ =arc t g(U_i/V_i), заключаем,что сумму (**) можнозаписать в виде

Итак, если случайная функция Х (t) может быть представлена в виде суммы гармоник различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами, то Х(t)— стационарная функция.

Спектральным разложением стационарной случайной функции называют представление этой функции в виде суммы гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами.

Пояснение. Покажем, что слагаемые суммы (**) попарно не коррелированы. Для простоты, не теряя общности доказательства, ограничимся двумя слагаемыми:

X ₁(t)= U ₁cos ω ₁ t + V ₁sm ω ₁ t и

X ₂(t)= U ₂cos ω ₂ t + V ₂sm ω ₂ t

Убедимся, что их взаимная корреляционная функция равна нулю и, следовательно, они не коррелированы (см. гл. XXIII, § 12):

Выполнив умножение и вынеся неслучайные множители за знак математического ожидания, найдем

Случайные величины U ₁, U ₂, V ₁, V ₂ попарно не коррелированы, поэтому их корреляционные моменты равны нулю; отсюда следует, что все математические ожидания парных произведений этих величин равны нулю. Например, корреляционный момент величин U ₁ и U ₂ равен нулю: так как эти величины центрированные (см. п. 1), то M (U ₁ U ₂) =0.

Итак, взаимная корреляционная функция , что и требовалось доказать.