Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)

Пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально, причем их дисперсии известны (например, из предшествующего опыта или найдены теоретически). По независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n и m, извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние и .

Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т. е.

Н₀:М(Х)==М(У).

Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних (см. гл. XV, § 5), т. е. М () = М (X) и М () = М (Y), нулевую гипотезу можно записать так:

Н₀:М()=М().

 

Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.

Например, если физические величины А и В имеют одинаковые истинные размеры, а средние арифметические и результатов измерений этих величин различны, то это различие незначимое.

Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны. Например, если среднее арифметическое результатов измерений физической величины А значимо отличается от среднего арифметического результатов измерений физической величины В, то это означает, что истинные размеры (математические ожидания) этих величин различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

 

,

 

Эта величина случайная, потому что в различных опытах и принимают различные, наперед неизвестные значения.

Пояснение. По определению среднего квадратического отклонения, .

На основании свойства 4 (см. гл. VIII, § 5), D( - )=D()+D().

По формуле (*) (см. гл. VIII, § 9), D()=D(X)/n, D()=D(Y)/m.

Следовательно,

 

.

 

Критерий Z—нормированная нормальная случайная величина. Действительно, величина Z распределена нормально, так как является линейной комбинацией нормально распределенных величин и ; сами эти величины распределены нормально как выборочные средние, найденные по выборкам, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей; Z — нормированная величина потому, что М (Z) = 0; при справедливости нулевой гипотезы σ(Z)==1, поскольку выборки независимы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

 

Первый случай. Нулевая гипотеза Н₀: М(X) = М (Y). Конкурирующая гипотеза Н₁: М(Х)≠М(У).

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α.

 

 

Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда «левая» и «правая» критические точки выбраны так,что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна α/2:

 

Р (Z < z_{лев. кр}) = α/2, Р (Z > z_{прав. кр}) = α/2.

 

Поскольку Z—нормированная нормальная величина, а распределение такой величины симметрично относительно нуля, критические точки симметричны относительно нуля.

Таким образом, если обозначить правую границу двусторонней критической области через z_кр, то левая граница равна— z_кр (рис. 25).

Итак, достаточно найти правую границу, чтобы найти саму двустороннюю критическую область Z < — z_кр, Z > z_кр и область принятия нулевой гипотезы (—z_кр, z_кр).

Покажем, как найти z_кр —правую границу двусторонней критической области, пользуясь функцией Лапласа Ф(z). Известно, что функция Лапласа определяет вероятность попадания нормированной нормальной случайной величины, например Z, в интервал (0, z):

Р(0<Z<z) = Ф(z). (**)

Так как распределение Z симметрично относительно нуля, то вероятность попадания Z в интервал (0, ∞) равна 1/2. Следовательно, если разбить этот интервал точкой z_кр на интервалы (0, z_кр) и (z_кр, ∞), то, по теореме сложения,

Р (0 < Z < z_кр) + Р (Z > z_кр) = 1/2. (***)

В силу (*) и (**) получим

Ф(z_кр)+α/2=1/2.

Следовательно,

Ф(z_кр)=(1-α)/2.

Отсюда заключаем: для того чтобы найти правую границу двусторонней критической области (z_кр), достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное (1—α)/2. Тогда двусторонняя критическая область определяется неравенствами

Z < — z_кр, Z > z_кр.

или равносильным неравенством |Z| > z_кр, а область принятия нулевой гипотезы—неравенством — z_кр < Z < z_кр, или равносильным неравенством |Z|< z_кр.

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через Z_набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: М (X) = М (Y) о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁: М (Х) ≠ М (Y), надо вычислить наблюденное значение критерия и по таблице функции Лапласа найти критическую точку по равенству .

Если |Z_набл| < z_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если |Z_набл| > z_кр —нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n==60 и m =50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =1250 и =1275. Генеральные дисперсии известны: D(X)=120, D(У)==100. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀: М(Х) = М(Y), при конкурирующей гипотезе Н₁: М (Х) ≠ М (Y).

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

 

.

 

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (Х) ≠ М (Y), поэтому критическая область—двусторонняя. Найдем правую критическую точку:

Ф(z_кр)=(1—α)/2=(1—0,01)/2=0,495.

По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим z_кр = 2,58. Так как | Z_набл | > z_кр —нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.

 

Второй случай. Нулевая гипотеза Н₀: М (X) = М (Y). Конкурирующая гипотеза Н₁: М (X) > М (Y).

 

 

На практике такой случай имеет место, если профессиональные соображения позволяют предположить, что генеральная средняя одной совокупности большегенеральной средней другой. Например, если введено усовершенствование технологического процесса, то естественно допустить, что оно приведет к увеличению выпуска продукции. В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости (рис. 26):

Р(Z> z_кр) = α. (****)

Покажем, как найти критическую точку с помощью функции Лапласа. Воспользуемся соотношением (***):

Р (0 < Z < z_кр) + Р (Z > z_кр) = 1/2.

В силу (**) и (****) имеем

Ф(z_кр)+α=1/2.

Следовательно,

Ф(z_кр) = (1-2α)/2.

Отсюда заключаем: для того чтобы найти границу правосторонней критической области (z_кр), достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное (1—2α)/2. Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством Z > z_кр, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством Z < z_кр.

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н₀: М (X) = М (Y) о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁: М (X) > М (Y), надо вычислить наблюдавшееся значение критерия и по таблице функции Лапласа найти критическую точку из равенства Ф(z_кр) = (1-2α)/2.

Если Z_набл < z_кр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Z_набл > z_кр —нулевую гипотезу отвергают.

Пример 2. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n =10 и m ==10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =14,3 и = 12,2. Генеральные дисперсии известны: D(Х)==22, D(Y)=18. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: М (X) = М (Y), при конкурирующей гипотезе Н₁: М (X) > М (Y).

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

 

.

 

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (X) > М (Y), поэтому критическая область—правосторонняя.

По таблице функции Лапласа находим z_кр = 1,64. Так как Z_набл < z_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочные средние различаются незначимо.

 

Третий случай. Нулевая гипотеза Н₀: М (X) = М (Y). Конкурирующая гипотеза Н₁: М (X) > М (Y).

 

В этом случае строят левостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости (рис. 27):

Р(Z< z’_кр)= α.

Приняв во внимание, что критерий Z распределен симметрично относительно нуля, заключаем, что искомая критическая точка z’_кр симметрична такой точке z_кр > 0, для которой Р (Z > z_кр) = α,' т. е. z’_кр = - z_кр. Таким образом, для того чтобы найти точку z’_кр, достаточно сначала найти «вспомогательную точку» z_кр так, как описано во втором случае, а затем взять найденное значение со знаком минус. Тогда левосторонняя критическая область определяется неравенством Z <— z_кр, а область принятия нулевой гипотезы—неравенством Z>— z_кр.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: М (X) > М (Y) надо вычислить Z_набл и сначала по таблице функции Лапласа найти «вспомогательную точку» z_кр по равенству Ф(z_кр = (1—2α)/2, а затем положить z’_кр = - z_кр

Если Z_набл < -z_кр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Z_набл > -z_кр —нулевую гипотезу отвергают.

 

Пример 3. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n==50 и m ==50, извлеченнымиз нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние ==142 и =150. Генеральные дисперсии известны: D(Х)=28,2, D(Y)==22,8. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀: М (X) = М (Y), при конкурирующей гипотезе Н₁: М (X) > М (Y).

Решение. Подставив данные задачи в формулу для вычисления наблюдаемого значения критерия, получим Z_набл = - 8.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (X) < М (Y), поэтому критическая область—левосторонняя.

Найдем «вспомогательную точку» z_кр:

Ф (z_кр) = (1-2α)/2 =(1-2·0,01)/2 = 0,49.

По таблице функции Лапласа находим z_кр =2,33. Следовательно, z’_кр = — z_кр = —2,33.

Так как Z_набл <— z_кр —нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочная средняя значимо меньше выборочной средней .