Оценка погрешности метода Монте—Карло

Пусть для получения оценки а* математического ожидания а случайной величины Х было произведено п независимых испытаний (разыграно п возможных значе­ний X) и по ним была найдена выборочная средняя , ко­торая принята в качестве искомой оценки: а*=х. Ясно, что если повторить опыт, то будут получены дру­гие возможные значения X, следовательно, другая сред­няя, а значит, и другая оценка а*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно, возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы δ допускаемой ошибки с заданной ве­роятностью (надежностью) γ:

Интересующая нас верхняя граница ошибки δ есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных ин­тервалов, о которой уже шла речь в гл. XVI. Поэтому воспользуемся результатами, полученными ранее, и рас­смотрим следующие три случая.

1. Случайная величина Х распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение σ известно. В этом случае с надеж­ностью γ верхняя граница ошибки (см. гл. XVI, § 15)

(*)

где п— число испытаний (разыгранных значений X); t— значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф (t) =γ/2, а—известное среднее квадратическое откло­нение X.

Пример 1. С надежностью γ =0,95 найти верхнюю границу ошибки σ, если для оценки математического ожидания нормальной величины Х с известным средним квадратическим отклонением, равным 0,5, было разыграно 100 возможных значений X.

Решение. По условию, n =100, σ =0,5, Ф (t)= 0,95/2 =0,475. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим t =1,96. Искомая верхняя граница ошибки δ = 1,96·0,5/ ==0,098.

 

2. Случайная величина Х распределена нормально, причем ее среднее квадрати­ческое отклонение σ неизвестно. В этом слу­чае с надежностью γ верхняя граница ошибки (см. гл. XVI, § 16)

(**)

где п— число испытаний; s —«исправленное» среднее квад­ратическое отклонение, t_γ находят по таблице приложе­ния 3.

Пример 2. С надежностью γ =0,95 найти верхнюю границу ошибки δ, если для оценки математического ожидания нормальной величины Х было разыграно 100 ее возможных значений и по ним найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s ==0,5. Решение. По условию, n =100, s =0,5. Используя таблицу приложения 3, по γ =0,95, n =100 находим t_γ,=1,984. Искомая верхняя граница ошибки δ = 1,984·0,5/ =0,099.

3. Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n >30) с надежностью, приближенно равной γ, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение σ случайной ве­личины Х известно; если же σ неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s— «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше п, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при п — распределение Стьюдента стремится к нормальному (см. гл. XVI, § 16, замечание). В частности (примеры 1 и 2), при n =100, γ =0,95 верхняя граница ошибки равна 0,098 по формуле (*) и 0,099 по формуле (**). Как видим, результаты раз­личаются незначительно.

Замечание. Для того чтобы найти наименьшее число испы­таний, которые обеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки δ, надо выразить n из формул (*) и (**):

Например, если δ ==0,098, t =1,96, =0,5, то минимальное число испытаний, при которых ошибка не превысит 0,098, равно

п= 1,9б2·0,5²/0,098²=100.

Случайные числа

Ранее было указано, что метод Монте—Карло основан на применении случайных чисел; дадим опреде­ление этих чисел. Обозначим через R непрерывную слу­чайную величину, распределенную равномерно в интер­вале (0, 1).

Случайными числами называют возможные значения r непрерывной случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1).

В действительности пользуются не равномерно рас­пределенной случайной величиной R, возможные значе­ния которой, вообще говоря, имеют бесконечное число десятичных знаков, а квазиравномерной случайной величиной R*, возможные значения которой имеют конечное число знаков. В результате замены R на R* разыгрываемая величина имеет не точно, а прибли­женно заданное распределение. В приложении 9 при­ведена таблица случайных чисел, заимствованная из книги: БольшевЛ. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 428.