Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии

Метод произведений дает удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти интересующие нас начальные и центральные эмпирические моменты. В частности, методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется так:

1) в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке;

2) во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают в нижнюю клетку столбца;

3) в третий столбец записывают условные варианты u_i = (x_i - C) /h, причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают h равным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0; в клетках над нулем пишут последовательно —1, —2, —3 и т.д., а под нулем—1, 2, 3 и т.д.;

4) умножают частоты на условные варианты и записывают их произведения n_iu_i - в четвертый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

5) умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения n_iu_i ² в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца;

6) умножают частоты на квадраты условных вариант,увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения n_i (u_i+ 1)² в шестой контрольный столбец; сложив все полученные числа, их сумму помещают в нижнюю клетку столбца.

Замечание 1. Целесообразно отдельно складывать отрицательные числа четвертого столбца (их сумму A ₁записывают в клетку строки, содержащей ложный нуль) и отдельно положительные

числа (их сумму A ₂ записывают в предпоследнюю клеткустолбца); тогда .

Замечание 2. При вычислении произведений n_iu_i ²пятого столбца целесообразно числа n_iu_i четвертого столбца умножать на u_i.

Замечание 3. Шестой столбец служит для контроля вычислений: если сумма окажется равной сумме (как и должно быть в соответствии с тождеством )то вычисления проведены правильно.

После того как расчетная таблица заполнена и проверена правильность вычислений, вычисляют условные моменты:

, .

Наконец, вычисляют выборочные среднюю и дисперсию по формулам (*) и (****) § 3:

, .

Пример. Найти методом произведений выборочные среднюю и дисперсию следующего статистического распределения:

варианты 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0

частоты 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

Решение. Составим расчетную таблицу, для чего:

1) запишем варианты в первый столбец;

2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;

3) в качестве ложного нуля выберем варианту 11,0 (эта варианта расположена примерно в середине вариационного ряда); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей выбранный ложный нуль, пишем 0; над нулем записываем последовательно—1, —2, —3, —4, а под нулем — 1, 2, 3, 4, 5;

4) произведения частот на условные варианты записываем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (— 46) отрицательных и отдельно сумму (103) положительных чисел; сложив эти числа, их
сумму (57) помещаем в нижнюю клетку столбца;

5) произведения частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (383) помещаем в нижнюю клетку столбца;

6) произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, запишем в шестой контрольный столбец; сумму (597) чисел столбца помещаем в нижнюю клетку столбца.

В итоге получим расчетную табл. 7.

Контроль: = 383+2*57+100= 597.

.

Вычисления произведены правильно.

Таблица 7

xi	ni	ui	niui	niui ^2	ni (ui+ 1)^2
10,2		-4	-8
10,4		-3	-9
10,6		-2	-16
10,8		-1	-13
11,0			A 1 = -46
11,2
11,4
11,6
11,8
12,0
		A 2=103
	n =100		= 57	= 383	= 597

 

 

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

= 57/ 100 = 0,57;

= 383/ 100 = 3,83.

Найдем шаг: h = 10,4— 10,2 = 0,2.

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию:

= 0,57 *0,2 + 11,0 = 11,1;

= [3,83 — (0,57)²]*0,2² = 0,14.

 

§ 5. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим

 

Выше изложена методика расчета выборочных характеристик для равноотстоящих вариант. На практике, как правило, данные наблюдений не являются равноотстоящими числами. Естественно, возникает вопрос: нельзя ли соответствующей обработкой наблюдаемых значений признака свести вычисления к случаю равноотстоящих вариант? Оказывается, можно. С этой целью интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака (первоначальные варианты), делят на несколько равных частичных интервалов. (Практически в каждый частичный интервал должно попасть не менее 8—10 первоначальных вариант.) Затем находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант.

В качестве частоты каждой «новой» варианты (середины частичного интервала) принимают общее число первоначальных вариант, попавших в соответствующий частичный интервал.

Ясно, что замена первоначальных вариант серединами частичных интервалов сопровождается ошибками (первоначальные варианты левой половины частичного интервала будут увеличены, а варианты правой половины уменьшены), однако эти ошибки будут в основном погашаться, поскольку они имеют разные знаки.

Пример. Выборочная совокупность объема п= 100 задана табл. 8.

Составить распределение равноотстоящих вариант.

Решение. Разобьем интервал 1,00—1,50, например, на следующие 5 частичных интервалов:

1,00—1,10; 1,10—1,20; 1,20—1,30; 1,30—1,40; 1,40—1,50.

Таблица 8

xi	ni	xi	ni	xi	ni
1,00 1,03 1,05 1,06 1,08 1,10 1,12 1,15 1,16		1,19 1,20 1,23 1,25 1,26 1,29 1,30 1,32 1,33		1,37 1,38 1,39 1,40 1,44 1,45 1,46 1,49 1,50

Приняв середины частичных интервалов, в качестве новых вариант y_i, получим равноотстоящие варианты: y ₁=1,05; y ₂=1,15; у ₃ = 1,25; y ₄=1.35; y ₅ = 1,45.

Найдем частоту варианты у ₁ :

n ₁= 1+3 + 6 + 4+2 + 4/2= 18.

(Поскольку первоначальная варианта 1,10 одновременно является концом первого частичного интервала и началом второго, частота 4 этой варианты поровну распределена между обоими частичными интервалами.)

Найдем частоту варианты y ₂:

n ₂ = 4/2 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4/2 = 20.

Аналогично вычислим частоты остальных вариант: n ₃ = 25; п ₄ = 22; n ₅=15.

В итоге получим следующее распределение равноотстоящих вариант:

y_i 1,05 1,15 1,25 1,35 1,45

n_i 18 20 25 22 15

Рекомендуем читателю убедиться, что выборочные средние и дисперсии, вычисленные по первоначальным и равноотстоящим вариантам, окажутся соответственно равными:

= 1,250; = 1,246; D_x = 0,018; D_y = 0,017.

Как видим, замена первоначальных вариант равноотстоящими не привела к существенным ошибкам; при этом объем вычислительной работы значительно уменьшается.