Выборочная дисперсия как оценка теоретической дисперсии, ско, «направленное» ско.

Пусть произведено n независимых испытаний, в результате которых величина Х приняла значения: х1, х2, …,хn. О: Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонения всех полученных значений от выборочного среднего.

,

или с учетом повторений

Из (2) следует,

.

Из (2) следует,

аналогично формуле

.

Поэтому выборочную дисперсию берут в качестве оценки теоретической дисперсии. Проверим на качество:

1)т.к. выборочн. средн явл-ся состоят. Оценкой мат. ожидания, то

стремится по вероятности к

M(X)

оценка состоятельная

2)Эта оценка является смещенной. Можно доказать, что

.

 

Чтобы избежать этого вводят исправленную выборочную дисперсию: S²=(n/(n-1))D_x*. Эта оценка является состоятельной т.к.

,

и несмещенной т.к.

.

В общем случае S² не явл-ся эффективной оценкой, но м док-ть, что в общ случае норм распред-я она является асимптотически эффективной, т.е. при увеличении n ее дисперсия приближается к к минимально возможной. Исправ диспер польз при n<30, иначе дробь близка к 1 и S² и Dx^* практически совпадают.

Для оценки СКО используется выборочное СКО:

и «исправленное» выборочное СКО:

.

Исправленным СКО является смещенная оценка, поэтому используют «».

Доверительная вероятность и доверительный интервал.

При больших n(n-число наблюдений) статистическая оценка неизвестного параметра q* близка к самому неизвестному параметру q, но если n мала, то оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, возникает вопрос о степени доверия полученной оценки, т.е. о том, какова вероятность g того, что q* мало отличается от q, т.е. вероятность неравенства |q - q*|<d

Очевидно, чем <d тем точнее оценка, поэтому d называют точностью оценки. Вероятность g, с которой осуществляется данное неравенство называют доверительной вероятностью (надежностью), а интервал [q*-d;q*+d] - доверительный интервал, он является интервальной оценкой параметра q. Для того, чтобы данное неравенство и его выполнение можно было считать почти достоверным, вероятность g обычно задают близко к 1.

Точность d находят из условия:

Т.к. случайным здесь является не параметр q (вполне определенное, хотя и неизвестное число), а доверительный интервал (случайное его положение на оси) зависящий от q*, поэтому принято говорить не о попадании q в доверительный интервал, а говорят так: доверительный интервал включает в себя параметр q с надежностью g.

Доверительный интервал для МО нормального распределения при известном и неизвестном s.

Для известного.

Пусть случ. величина Х имеет нормальное распределение и ее СКО (s) известно. Произведено n независимых испытаний по результатам которых вычислено являющееся оценкой неизвестного МО a. Нужно найти доверительный интервал покрывающий МО с вероятностью g. (рисунок)

Можно доказать, что если Х распределена нормально, то тоже распределена нормально. Доказывая несмещенность и эффективность , мы получили: M()=a, D()=D(x)/n=s²/n ®

.

Найдем доверительный интервал из условия

.

ранее для норм распред-я была получена формула

.

Применяя эту формулу для , получили

 

;

,

где t находят по таблице ф-ции Лапласа, тогда

,

доверит интервал имеет вид:

Для неизвестного.

Пусть величина X распределена нормально. Произведено n независимых испытаний в результате которых вычислены выборочные средние , и «исправленное» СКО. Нужно найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное МО а, с вероятностью g.

Рассмотрим вспомогательную случ. величину .

Известно, что T имеет так называемое распределение Стьюдента с (n-1) степенями свободы. Плотность вероятности этого распределения известна и обозначается f(t)=S(t,n). Распределение Стьюдента зависит только от числа n и не зависит от неизвестных параметров a и s, что является его достоинством.

Найдем доверительный интервал из условия

,

преобразуем неравенство ,

.

,

 

тогда t_g можно найти из условия: .

Созданы спецтаблицы, в которых по данным n и g находят t_g=t(n,g),

,

доверительный интервал имеет вид:

.