Теорема сложения вероятностей (для совместимых и несовместимых событий) и следствия из нее.

Т1: если события А и В несовместны, то вероятность суммы этих событий = сумме вероятностей. Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во: пусть m₁ исходов благоприятствует событию А, а m₂ событию В, тогда А+В благоприятствуют m₁+m₂, ® Р(А+В)= (m₁+m₂)\n = m₁\n+m₂\n=Р(А)+Р(В).

Следствие 1: если события А₁,А₂,…,А_n образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятности = 1. Р(А₁)+ Р(А₂)+…+ Р(А_n)=1. Док-во: А₁+А₂+…+А_n - достоверно. Вероятность достоверного события равна 1.

Следствие 2: Р(А)+Р()=1 (сумма вероятности противоп. соб.=1).

Замечание: если вероятность одного из противоположных событий обозначить р, то вероятность другого обозначим q. Итак p+q=1.

Т2: если события А и В совместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ). Док-во: пусть m₁ исходов благоприятствуют событию А, m₂ исходов благоприятствуют событию В, к исходов благоприятствуют событию АВ. Тогда событию А+В благоприятствуют (m₁-k)+k+(m₂-k)=m₁+m₂-k. Р(А+В)= (m₁+m₂-k)/n=m_1/n+m_2/n-k/n=P(A)+P(B)-P(AB).

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность события А при условии что произошло событие В наз-ют условной вероятностью А при событии В и обозначают Р_B(A).

Т еорема: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что произошло первое. Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В) (1), Р(АВ)=Р(В)*Р_В(А) (2). Док-во: Р(АВ)=к/n=m/n*k/m. m/n=P(A); k/m=P_A(B), т.к. событие А произошло, то из всех возможных исходов остались только m благоприятных событию А, k из которых благоприятны событию В.

Следствие: Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)*Р_А1(А₂)*Р_А1А2(А₃)*…*Р_{А1А2…Аn-1}(А_n).

Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Опр: Событие А наз-ют независимым от события В, если его вероятность не зависит от того произошло или не произошло событие В, т.е. Р(А)=Р_В(А). Из P(AB) = P(A)*P_A(B) имеем Р(А)*Р_А(В)=Р(В)*Р_В(А), если А не зависит от В, то сократив на равные выражения получаем Р(В)=Р_А(В), то В не зависит от А => понятие зависимости яв-ся взаимным. События А₁,А_2, …,А_n называют независимыми в совокупности или просто независ., если каждое из них и произведение люб. числа других попарно независ-мы. Напр. события А_1, А_2, А₃ независ., если независ. следующие пары событий: А₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и А₃, А₁ и А₂А₃, …

Т: вероятность произвед-я 2^х независ-х событий = произв-ю их вероят-тей. Р(АВ)=Р(А)Р(В). Т. явл-ся следствием теор. умножения вероятностей.

Следствие: если события А_1,А_2,….,А_n независимы в совокупности, то вероятность их произведения Р(А₁*А₂*…*А_n)=Р(А₁)* Р(А₂)*…* Р(А_n).

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти с одним и только с одним из попарно несовместных событий В₁, В₂,…,В_n, образующих полную группу. Т.к. заранее не известно какое из событий В_i произойдет, то их наз-ют гипотезами, очевидно что наступление события А равносильно наступлению одного из попарно несовместных событий АВ₁ или АВ₂ или... АВ_n, т.е. А=АВ₁+АВ₂+…+АВ_n. По теореме сложения для несовместных событий имеем: Р(А)=Р(АВ₁)+Р(АВ₂)+…+Р(АВ_n), по теореме умножения имеем: Р(А)=Р(В₁)*Р_В1(А)+Р(В2)*Р_В2(А)+…+Р(В_n)*Р_Вn(А). P(A)=∑P(B_K)*P_BK(A)

Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти с одним и только с одним из попарно несовместных событий гипотез В₁,…,B_n образующих полную группу. Пусть известно, что произошло событие А. Этот факт может повлиять на вероятности гипотез, т. е. произойдет их переоценка. Найдем усл. вер-ть гипотез при условии что произошло событие А. Р(АВ_i)=Р(А)*Р_А(В_i)=Р(В_i)*Р_Вi(А); Р_А(В_i)= Р(В_i)* Р_Вi(А)/Р(А), или используя формулу полной вероятности:

 

Независимые повторные испытания, формула Бернулли.

Пусть произведено n независ. Испытаний. Вероятн. Появл. События А в каждом испытании равна р, а значит вероятность его непоявления q=1-p. Найдем вероятность события В, сост. в том, что в этих испытаниях событие А появится m раз, вероятн. событ. В обознач. P_n(m)=P(B). А_i - появление события А в i - том испытании -не появление А в i- ом испытании. Здесь в каждом произведении события А_i входит n раз, а A_i (с чертой) m-n раз. Число таких комбинаций столько, сколькими способами м. выбрать из n испытаний те m в котор. произошло событ. А. Вероятность каждой такой комбинации по теореме о умножении независимых событий=р^mq^n-m,

По формуле бинома Ньютона имеем:

 

Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянно и равна p (0<p<1), то вероятность появления события А в этих испытаниях m раз приближенно =

где

Для функции

составлены специальные таблицы при х из[0, 4), при x<0 пользуются четностью, при x>=4 полагают , т.к. функция быстро убывает. Ф-я четная. Формулой пользуются, если npq³10. Формула Лапласа дает более точный рез-т при р близких к 0,5, если p или q мало то погрешность м.б. большой. В этих случаях используют ф-лу Пуассона.

Теорема Пуассона.

Ф-лу используют если p или d мало. Пусть для опред-ти мало p, и вер-ть появления события А удовлетвор. Условию np=λ-const, с такой ситуацией встреч при редких явлениях.

Теорема: Пусть вероятность появления события А в серии из n независимых испыт. равна p=λ/n, тогда вер. появления события А в этой серии m раз удовл. условию:

(далее переписать эту формулу без предела). Ей пользуются при больших n и малых p и λ £10.