Следствия из теоремы умножения вероятностей

Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Доказательство. Дано, что не зависит от , т.е. (**)

Требуется доказать, что и событие не зависит от события , т. е. (**)

При доказательстве предполагаем, что . Напишем теорему вероятностей в двух формах:

или принимая во внимание выше . Разделим обе части на . Тогда .

Из этого следствия вытекает, что зависимость и независимость событий всегда взаимны.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Это следствие непосредственно вытекает из определения независимых событий.

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так:

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Доказательство проводится методом полной индукции. В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

,

т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий или

.

Формула полной вероятности

Следствием обеих теорем - теоремы сложения и умножения - является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. Будем называть эти события гипотезами.

Докажем, что в этом случае

, (*)

т. е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности любой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (*) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу событий, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез

.

Т. к. гипотезы несовместны, то и комбинации - также несовместны. Покажем это - . Применяя к ним теорему сложения, получим

.

Применяя к событию теорему умножения, получим

,

что и требовалось доказать.

Пример. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая- 25%, третья- 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1% и 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что случайно выбранный болт – дефектный, а через – события, состоящие в том, что этот болт произведен соответственно 1-ой, 2-ой и 3-ей машинами. Из условия задачи следует, что , , ; , , . По формуле полной вероятности получаем, что =0.3·0.02+0.25·0.01+0.45·0.3=0.022.

12. Теорема гипотез. (Формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая гипотез, или формула Байеса. Поставим следующую задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

или, отбрасывая левую часть,

откуда

,

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, имеем

,

Пример. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы по мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

- ни первый, ни второй не попадут; - оба попадут; - первый попадет, второй - нет; - первый не попадет, второй попадет. Вероятность этих гипотез:

=0,2×0,6=0,12; =0,32; =0,8×0,6=0,48; =0,2×0,4=0,08.

Условные вероятности наблюденного события при этих гипотезах:

; ; ; .

После опыта невозможные гипотезы ¾ и .

^.