Корреляционный момент св Х и У и его св-ва.

Пусть имеется случайный вектор , распределение которого известно, т. е. известна таблица или плотность распределения . Тогда , . По известному закону распределения можно найти также дисперсии составляющих вектор . Пусть и . Однако математические ожидания и дисперсии случайных величин и недостаточно полно характеризуют случайный вектор , т. к. не выражают степень зависимости составляющих вектора. Эту роль выполняют корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

. Если распределение дискретное, то . При непрерывном распределении

. Корреляционный момент обладает след-ми св-вами:

1. –симметричность.

2. Если и независимые св, то

Обратное, вообще говоря, не имеет места. Если , то в этом случае величины и называются не коррелированными.

3. . Действительно, ;

Если отклонения случайных величин заменить их нормированными отклонениями, то получим безмерную величину - коэффициент линейной корреляции :

Свойства коэффициента линейной корреляции вытекают из свойств корреляционного момента: ; 2. ; 3. ; 4и5

29.Формула Бернулли

Пусть некоторый опыт воспроизводится раз и каждый раз событие может наступать с одной и той же вероятностью , независимо от результатов предыдущих опытов. В этом случае говорят о повторных независимых испытаниях. При этом событие может наступать 0, 1, 2, …, , …, раз. Число наступлений события – это случайная величина. Найдем вероятность, с которой событие наступит раз. Эту вероятность обычно обозначают символом . Интересующее нас событие – наступление раз в испытаниях, можно разбить на частные случаи, каждый из которых определяется номерами тех испытаний, в которых наступает . Пусть - это наступление в -ом испытании. Набор таких определяет отдельный случай. Например, (, ,…, )- это случай, когда наступило в -ом испытании, затем -ом и т.д., во всех же остальных испытаниях не наступило. Всех случаев будет столько, сколькими способами мы можем выбрать m натуральных чисел из (1,2,3,…, ), т. е. число всех случаев – это число сочетаний из элементов по :

Найдем вероятность отдельного случая. Чтобы он наступил, должны наступить события и события , где пробегает те числа из 1,2,3,…, , которые отличны от , ,…, . Так как все указанные события независимы и операция умножения событий коммутативна, то вероятность отдельного случая

 

 

где .

Мы видим, что все частные случаи равновозможны, поэтому, применяя теорему сложения для несовместных событий, получаем

- формула Бернулли.

30.Наивероятнейшим числом наступления события

Число наступлений события , которому отвечает наибольшая вероятность, называют наивероятнейшим числом наступления события .

Пусть - наивероятнейшее число наступлений события , тогда , . Отсюда или , следовательно, . С другой стороны, , тогда , т.е. .

Итак, определяется двойным неравенством . Отметим, что разность , следовательно, всегда существует целое число , удовлетворяющее двойному неравенству выше. При этом если - целое число, то наивероятнейших чисел будет два: и .

31. Асимптотические формулы вычисления вероятностей

При больших и на практике пользоваться формулой Бернулли затруднительно.В этом случае пользуютсялокальной теоремой Лапласа, которую приведем без доказательства.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом из испытаний отлична от 0 или 1, то -вероятность того, чтособытие при этом наступит раз, при удовлетворяет предельному неравенству

,

где , .

При сделанных предположениях относительно , если достаточно большое, имеет место приближенное равенство

.

Формула эффективнее, когда близко к 0.5. Если - мало, пользуются асимптотической формулой Пуассона, которая вытекает из следующей теоремы Пуассона.

Теорема. Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие наступает с вероятностью . Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а , причем - величина постоянная, то

.