Дисперсия нормального закона распределения.

Найдем дисперсию

 

Таким образом, , , .

Мы установили вероятностный смысл параметров и а, а - это математическое ожидание распределения, - ее среднеквадратическое отклонение. По нормальному закону распределено большое количество случайных величин. Например, этому закону подчиняется распределение роста 20-ти летнего мужчины, вес женщины, рост которой равен 170 см, дальность полета снаряда, результат измерения длины, массы, времени и т.д.

Функция Лапласа и ее связь с функцией распределе- ния нормальной случайной величины

Функция называется функцией Лапласа или интегралом вероятности. Она тесно связана с нормальным законом распределения. Ее основные свойства:

1) область определения функции Лапласа – вся числовая ось;

2) функция Лапласа монотонно возрастает на всей числовой прямой, т.к. ;

3) функция - нечетная, покажем это.

4) . Действительно,

Итак, пусть у нас имеется нормальная случайная величина X с математическим ожиданием а и дисперсией . Тогда функция распределения этой случайной величины

. Сделаем замену переменной в этом интеграле, положив . Тогда , при , , при , .

Если , то случайная величина называется нормированной. График функции распределения нормированной нормальной случайной величины с математическим ожиданием , т.е. имеет вид:

Найдем вероятность того, что случайная величина , распределенная по нормальному закону с параметрами , , примет значение из

Таким образом,

.

Найдем вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше некоторого положительного , т.е. найдем вероятность

.

Итак: .

Вероятность того, что нормальная случайная величина отклоняется от своего математического ожидания по модулю меньше, чем на , определяется формулой .

Правило 3 сигм

Найдем вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше некоторого положительного , т.е. найдем вероятность

.

 

Итак: .

 

Вероятность того, что нормальная случайная величина отклоняется от своего математического ожидания по модулю меньше, чем на , определяется формулой

.

Если в этой формуле положить , то получим

 

.

 

Отсюда вытекает, что среди 10000 значений нормальной случайной величины в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений нет таких, которые выходят за пределы указанного интервала. В этом и состоит правило «трех сигм», которое широко применяется в статистике.

41. Неравенство Маркова

Теорема. Если случайная величина может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была величина той же размерности, что и , всегда выполняется неравенство

.

Доказательство. Пусть - непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Из условия теоремы следует, что при и при .

Математическое ожидание случайной величины -

(разобьем на два интеграла)

 

.

 

Так как , то

.

Итак,

, .

Если это неравенство вычесть из тождества 1=1, то

или . Что и требовалось доказать.

42. Неравенство Чебышева

Теорема. Каково бы ни было для любой случайной величины , дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева

.

 

Доказательство. Рассмотрим величину .

 

.

 

Для получим

 

.

Подставим в это неравенство выражение через и

или

 

 

Определение. Последовательность чисел называется равномерно ограниченной, если существует такая постоянная М, что для любого

Теорема Чебышева

Если - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание и дисперсия , , причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного

 

Доказательство. Последовательность равномерно ограничена, т.е. существует такое М, что для любого натурального . Рассмотрим случайную величину

. У этой величины есть математическое ожидание и дисперсия:

,

 

Здесь мы воспользовались свойством, что если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Таким образом, удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при любом имеем или

Итак,

Пусть , тогда при любых .

Отсюда , что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли

Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз, и каждый раз событие А может происходить с одной и той же вероятностью р независимо от результатов предыдущих опытов. Тогда вероятность того, что отклолнение частоты от вероятности р< по модулю положительного числа , стремится к достоверной, при , т.е. .

Доказательство: Пусть случайная величина - число наступлений события А в i -ом испытании, тогда распределение этой случайной величины задается таблицей:

 

 

Найдем числовые характеристики этого распределения , .

Отсюда видно, что все требования т. Чебышева выполняется, а значит, если сумму обозначить через m (это число наступлений события А в n испытаниях)
то по формуле из следствия к т. Чебышева, получим

Устремляя получим

Теорема Ляпунова

Можно доказать, что CBX₁X₂…X_n –являются независим нормально распределенными CB, то сумма также распределена по номмальному закону с мат. Ожиданием равным сумме мат. ожиданий и дисперсией равной сумме дисперсий. Обобщением этого утверждения является следующая Т. Ляпунова

Т. Если X₁X₂…X_n –независимые CB, у каждой из которых существует мат ожидание и диспепсия , , также существует , а также
, тогда сумма S=X₁+X₂+…+X_n распределена асимптотически по нормальному закону с мат ожид равным сумме мат ожид и дисперсий равной сумме дисперсий, тогда для

– ранее вывели. Ф-ция Лапласа.

Следствием из Т. Липунова являются следующие неравенства:

1)

2)

3)

 

Здесь γ и ε –любые положительные числа, а также a₁=a₂=…=a_n=a,

Например, если производятся измерения некоторой величины, истинное значение которой равно a, то среднее арифметическое значение результатов измерений отличается от истинного значения по модулю меньше чем ε с вероятностью прибл равной