Математические свойства дисперсии.

1. Дисперсия, рассчитанная по отношению к средней величине, является минимальной.

2. Дисперсия постоянной величины равна 0.

3. Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится.

4. Если все значения признака (варианты) увеличить (умножить) в К раз, где К – постоянное число, то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в К² раз.

5. Если вычислена дисперсия по отношению к числу В, отличному от средней величины, то дисперсию исходной совокупности можно рассчитать по формуле: .

6. Дисперсию исходной совокупности можно рассчитать как разность между средней квадратов признака и квадратом средней величины.

 

Расчет дисперсии способом моментов.

 

Возраст депутата (полных лет) (X)	Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ)	Середины интервалов (X)	X-24,5
20-29		24,5
30-39		34,5
40-49		44,5
50-59		54,5
60-69		64,5
Итог:

 

В этом случае дисперсия рассчитывается по формуле , где i – величина равного интервала или любое постоянное число, отличное от 0; m₁- момент первого порядка, m₂ – момент второго порядка, который рассчитывается по формуле: .

А=24,5; i=10; ; =10²(6,22-2,317²)=85,15

 

Расчет дисперсии методом средних.

Этот способ расчета основан на использовании последнего свойства дисперсии.

 

 

Возраст депутата (полных лет) (X)	Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ)	Середины интервалов (X)	X^2	X^2*ƒ
20-29		24,5	600,25	600,25
30-39		34,5	1190,25
40-49		44,5	1980,25
50-59		54,5	2970,25	89107,5
60-69		64,5	4160,25	29121,75
Итог:				193320,5

 

;

Правила сложения дисперсии.

Если исходная совокупность разделена на группы по какому-то существенному признаку, то вычисляют следующие виды дисперсий:

1) Общую дисперсию исходной совокупности по формуле: , где - общая средняя величина исходной совокупности; f – частоты исходной совокупности. Общая дисперсия характеризует отклонение индивидуальных значений признака от общей средней величины исходной совокупности.

2) Внутригрупповые дисперсии по формуле: , где j - номер группы; - средняя величина в каждой j-ой группе; - частоты j-ой группы. Внутригрупповые дисперсии характеризуют отклонение индивидуального значения признака в каждой группе от групповой средней величины. Из всех внутригрупповых дисперсий вычисляют среднюю по формуле: , где - численность единиц в каждой j-ой группе.

3) Межгрупповую дисперсию по формуле: . Межгрупповая дисперсия характеризует отклонение групповых средних величин от общей средней величины исходной совокупности. Правило сложения дисперсий заключается в том. что общая дисперсия исходной совокупности должна быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий: . Результат отношения межгрупповой к общей дисперсии исходной совокупности называется эмпирическим коэффициентом детерминации. Он показывает долю вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Дисперсия альтернативного признака.

Наряду с изучением вариаций количественных признаков определяют вариацию альтернативных признаков. Обозначим через p долю единиц совокупности, обладающих альтернативным признаком; через q – долю единиц совокупности не обладающих альтернативны признаком. p+q=1

Наличие признака у единиц совокупности обозначается цифрой 1, отсутствие признака – 0. Вычислим среднюю величину альтернативного признака: . Средняя величина альтернативного признака равна доле единиц совокупности, обладающих этим альтернативным признаком. вычислим дисперсию альтернативного признака: . Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц совокупности, обладающих этим признаком и доли единиц совокупности не обладающих данным признаком.

 

Лекция №7

Выборочное наблюдение.

Выборочным называют не сплошное наблюдение, при котором обследованию и изучению подвергаются не все единицы исходной совокупности, а только часть единиц, при этом результат обследования части совокупности распространяется на всю исходную совокупность. Совокупность, из которой производится отбор единиц для дальнейшего обследования и изучения называется генеральной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называются генеральными. Средняя величина признака в генеральной совокупности обозначается через , а численность единиц в генеральной совокупности обозначается через N.

Совокупность отобранных единиц называется выборочной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называются выборочными. Средняя величина признака в выборочной совокупности обозначается через , а численность единиц выборочной совокупности обозначается через n.

Возможные пределы отклонений выборочной средней величины от генеральной средней величины называют ошибкой выборки. Чем больше ошибка выборки, тем в большей степени выборочные показатели отличаются от генеральных.

Задача выборочного наблюдения состоит в том, чтобы на основе данных выборочной совокупности дать верное представление о генеральной совокупности, т. е. необходимо максимально приблизить выборочные показатели к генеральным и знать возможный предел отклонений этих величин. При прочих равных условиях чем больше численность единиц выборочной совокупности, тем меньше величина ошибки выборки. Средняя ошибка выборки обозначатся буквой и характеризует среднюю величину отклонений выборочных показателей от генеральных и при этом должно соблюдаться следующее соотношение: .

Так как средняя ошибка выборки характеризует среднюю величину возможных отклонений выборочных показателей от генеральных, то всегда найдутся единицы генеральной совокупности, которые будут выходить за возможные пределы, такие, как и .

Если мы увеличим возможные пределы отклонений выборочных показателей от генеральных, то с большей вероятностью сможем утверждать, чтот показатели генеральной совокупности отличаются от выборочных показателей не более чем на какую-нибудь величину, которую называют предельной ошибкой выборки. Предельная ошибка выборки обозначается буквой и вычисляется по формуле , где - средняя ошибка выборки; t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка выборки не превысит t-кратную среднюю ошибку, и всегда будет соблюдаться следующее неравенство: .

 

 

Таблица для справки:

 

Процент вероятности	Коэффициент доверия (t)
68,3%	1,0
95,0%	1,96
95,4%	2,0
99,0%	2,58
99,7%	3,0
99,9%	3,28

 

По способу отбора единиц в выборочную совокупность различают следующие виды выборочного наблюдения (выборки):

1. собственно-случайная
2. механическая
3. типическая
4. серийная

По методу отбора единиц в выборочную совокупность различают повторный и бесповторный отбор.

При повторном отборе обследованная единица после изучения вновь возвращается в генеральную совокупность и не исключена возможность дальнейшего отбора этой единицы в выборочную совокупность.

При бесповторном отборе обследованная единица не возвращается в генеральную совокупность и не участвует в дальнейшем отборе единиц в выборочную совокупность.

1) Собственно-случайная выборка заключается в том, что отбор единиц в выборочную совокупность производится без определенной системности, например, методом жеребьевки. При этом каждая единица генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность быть отобранной в выборочную совокупность. Средняя ошибка выборки рассчитывается по формулам:

Для повторного отбора: ; для бесповторного отбора: ; где - дисперсия выборочной совокупности.

2) Механическая выборка является разновидностью собственно-случайной выборки и заключается в том, что вся генеральная совокупность разбивается на определенное количество равных частей и затем из каждой части случайным образом производится отбор единиц в выборочную совокупность. Для определения средней ошибки выборки применяют те же формулы, что и при собственно-случайной выборке.

3) Типическая выборка проводится в тех случаях, когда вся генеральная совокупность разбивается на качественно-однородные группы и затем из каждой группы, случайным или механическим образом производится отбор единиц в выборочную совокупность.

Формула для повторного отбора: ; для бесповторного отбора: ; где - средняя из внутригрупповых дисперсий.

4) Серийная выборка состоит в том, что обследованию подвергаются не отдельные единицы совокупности, а целые группы или серии единиц. При этом, в данной группе обследованию подвергаются все единицы. Средняя ошибка выборки определяется по формулам: Для повторного отбора: ; для бесповторного отбора: ; где - межгрупповая дисперсия; r – количество групп или серий в выборочной совокупности; R – количество групп или серий в генеральной совокупности.

Для определения необходимой численности единиц в выборочной совокупности используют формулы, применяемые для расчета средней ошибки выборки.

Лекция №8.

Ряды динамики.

Одной из задач статистики является изучение изменения социально-экономических явлений и процессов во времени. Эта задача решается с помощью составления и анализа рядов динамики.

Ряд динамики представляет собой последовательность числовых значений изучаемого статистического показателя за определенные периоды времени. Числовые значения, составляющие ряд динамики называются уровнями ряда и обозначаются y_i (i=1,2,…,n). В зависимости от вида показателей, составляющих ряд динамики, различают ряды абсолютных, относительных и средних величин. Уровни ряда динамики могут относиться к определенным моментам или периодам времени. В зависимости от этого ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.

Моментным называют ряд динамики, уровни которого характеризуют величину изучаемого показателя на определенный момент времени (на конкретную дату). Например: приводится численность населения Российской Федерации (млн. чел.): на 01.01.1999 – 146,3; на 01.01.2000 – 145,6; на 01.01.2001 – 144,8; на 01.01.2002 – 144,0; на 01.01.2003 -145,2.

Интервальным называют ряд динамики, уровни которого характеризуют величину изучаемого показателя за определенный период времени. Например: приводится объем кредитных вложений в экономику страны: 2000 г. – 808; 2001 г. – 1286; 2002 г. – 1755.