Структурные средние величины.

К структурным средним величинам относятся:

1) Мода (Мо)

2) Медиана (Ме)

3) Квартили (Q)

4) Децили (D)

Все средние структурные являются именованными величинами и выражаются в тех же единицах измерения, что и значения признака (варианты).

1. Модей в статистике называют значение признака (вариант), который наиболее часто встречается в исходной совокупности. В дискретном вариационном ряду Мо является вариант, имеющий наибольшую частоту. Рассмотрим на примере с семьями:

Число детей	Количество семей
Х	ƒ
Итого

В этом примере наибольшей частоте 8 соответствует значение признака – 1 ребенок, это и есть значение Мо и, следовательно, наиболее часто встречаются в данном примере семьи, имеющие одного ребенка.

В интервальном вариационном ряду с равными интервалами по наибольшей частоте (частости) находят интервал, содержащий Мо (модальный интервал) и далее Мо вычисляют по формуле: , где: - нижняя граница интервала, содержащая Мо; i_Mo – величина модального интервала; f_Mo – частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным. Пример:

Возраст депутата (полных лет) (X)	Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ)
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
Итог:

В этом примере наибольшая частота равна 30, следовательно, Мо содержится в интервале от 50 до 59 лет. Таким образом вычислили, что наиболее часто встречаются депутаты в возрасте 50,7 лет.

В интервальном вариационном ряду Мо можно также вычислить графически по гистограмме:

В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами для определения Мо необходимо:

1. рассчитать частости W

2. вычислить плотность распределения путем деления частости на величину соответствующего интервала: Z=W/i.

3. по наибольшей плотности распределения найти модальный интервал

4. Мо вычислить по формуле:

В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами Мо можно вычислить графически по гистограмме. Для этого по оси ординат вместо частот откладываются соответствующие плотности распределения.

 

Лекция № 5

Медиана – это значение признака при котором исходная совокупность делится на 2 равные части, при этом первая половина совокупности имеет значение признака меньше, чем медиана, а вторая имеет значения признака больше, чем медиана.

Квартиль делит исходную совокупность на 4 равные части. На практике вычисляют первый (нижний) квартиль, который делит исходную совокупность в соотношении ¼: ¾ и третий (верхний) квартиль, который делит исходную совокупность в соотношении ¾: ¼.

Дециль делит исходную совокупность на 10 равных частей. Например: второй D делит исходную совокупность в соотношении 2/10: 8/10; девятый D делит исходную совокупность в соотношении 9/10: 1/10.

В дискретном вариационном ряду для определения Ме, квартилей и децилей необходимо:

1) Вычислить накопленные частоты.

2) Определить порядковый номер единицы, которая делит исходную совокупность в нужном нам соотношении. Например: для Ме: ; для первого Q: ; для девятого D: .

3) По накопленным частотам найти значение признака, которое имеет нужная нам единица совокупности. Пример (про семьи):

 

Число детей	Количество семей	S
Х	ƒ
Итого

По накопленным частотам определяем, что 10-ой единице совокупности (10-ой семье) соответствует значение признака равное 1, значит Ме равна 1 ребенку. Половина семей имеют 1 ребенка и вообще не имеют детей, а вторая половина имеют 1 ребенка и больше.

; Таким образом мы вычислили, что ¾ семей (75%) имеют 2-ух детей и меньше, а 25% семей имеют более 2-ух детей; 90% семей имеют 3-ех детей и меньше, а 10% более 3-ех детей.

В интервальном вариационном ряду для определения медианы, квартилей и децилей необходимо:

1) Вычислить накопленные частоты.

2) Найти порядковый номер единицы, которая делит исходную совокупность в нужном нам соотношении.

3) По накопленным частотам найти интервал, содержащий нужную нам единицу совокупности.

4) Медиану, квартили и децили вычисляют по формулам: , где - нижняя граница медианного интервала (интервала, содержащего единицу, которая делит всю совокупность на 2 равные части); - величина медианного интервала; - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; - частота медианного интервала. Пример:

Возраст депутата (полных лет) (X)	Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ)	S
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
Итог:

 

По накопленным частотам определяем, что 41-ая единица совокупности содержится в интервале 40-49 лет. Этот интервал является медианным.

Половина депутатов фракции «Единство» моложе 47,7 лет, 2-ая половина старше 47,7 лет.

В интервальном вариационном ряду медиану можно вычислить графически по кумуляте:

Квартиль вычисляют по формуле: ;

Дециль вычисляют по формуле:
.

В интервальном вариационном ряду квартиль и дециль можно вычислить графически по кумуляте:

 

Показатели вариации.

Изменение величины признака от одной единицы совокупности к другой в статистике называют вариацией признака. Кроме средних величин для анализа исходной совокупности вычисляют абсолютные и относительные показатели вариации. К абсолютным показателям относятся:

1) Размах вариации (R) определяется, как разность между максимальным и минимальным значением признака в исходной совокупности R=X_max-X_min.

2) Среднее квартильное отклонение. Определяется как половина разности 3-его и 1-ого квартиля: .

3) Среднее линейное отклонение (d). Определяется, как средняя арифметическая величина из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Применяют 2 формулы для не сгруппированных данных и сгруппированных.

Для не сгруппированных: ; для сгруппированных: .

4) Дисперсия (). Определяется, как средняя арифметическая величина из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от из средней величины.

Для не сгруппированных: ; для сгруппированных: .

5) Среднее квадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии.

Для не сгруппированных: ; для сгруппированных: .

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака (варианты) в исходной совокупности от средней величины. Показатель среднего квадратического отклонения применяется при оценке возможного риска в финансово-экономических расчетах.

Лекция №6.

К относительным показателям вариации относятся:

1. Коэффициент квартильной вариации, который вычисляется по формуле:

2. Коэффициент осцилляции: .

3. Коэффициент вариации:

исходная совокупность считается однородной по изучаемому признаку, если коэффициент вариации меньше 33%. В этом случае средняя величина объективно представляет свою исходную совокупность. Пример вычисления показателей вариации:

Возраст депутата (полных лет) (X)	Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ)	Середины интервалов (X)
20-29		24,5	23,2	23,2	538,24
30-39		34,5	13,2	211,2	2787,84
40-49		44,5	3,2	89,6	286,72
50-59		54,5	6,8		1387,2
60-69		64,5	16,8	117,6	1975,68
Итог:				645,6	6975,68

 

; R=69-20=49 (лет); =7,9(лет); =6975,68/82=85,07; ;

В среднем возраст каждого депутата отличается от среднего возраста для депутатов данной фракции на 9,2 лет. Данная совокупность депутатов считается однородной по возрасту, т. к. коэффициент вариации меньше 33%.