Формула для вычисления дисперсии

 

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

D (X) = М (X ²) — [ M (X)]².

Доказательство. Математическое ожидание М (X)есть постоянная величина, следовательно, 2 М (X)и М ²(X)есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель, можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

D (X)= М [ Х — М (X)]²= М [ Х ² - 2 ХМ (X) + М ²(Х)]=

= М (X ²) — 2 М (X) М (X) + М ²(X) = М (X ²) — 2 М ²(X) + М ²(X) =

М (X ²) —M ²(X).

Итак,

D (X) =M (X ²) — [ М (Х)]².

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Пример 1. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X
P	0, 1	0, 6	0, 3

Решение. Найдем математическое ожидание М (X):

М (Х) = 2 * 0, 1 + 3 * 0, 6 + 5 * 0, 3 = 3, 5.

Напишем закон распределения случайной величины X ²:

X ^2
p	0, 1	0, 6	0, 3

Найдем математические ожидания М (X ²):

M (X ²) = 4 * 0, 1 + 9 * 0, 6 + 25 * 0, 3 = 13, 3

Искомая дисперсия

D (X) = М (X ²)—[ М (Х)]²= 13, 3 — (3, 5)² = 1, 05.

Замечание. Казалось бы, если X и Y имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то идисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий!).Однако в общем случае это не так. Дело в том, что одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется на только самими возможными значениями, но и их вероятностями. Например, есливероятности «далеких» от математического ожидания возможных, значений X больше, чем вероятности этих же значений Y, и вероятности «близких» значений X меньше, чем вероятности тех же значений Y, то, очевидно, дисперсия X больше дисперсии Y.

Приведем иллюстрирующий пример.

Пример 2. Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

X	- 1
p	0, 48	0, 01	0, 09	0, 42

 

Y	- 1
p	0, 19	0, 51	0, 25	0, 05

 

Решение.Легко убедиться, что

М (Х) = М (Y)= 0,97; D (X) 3, 69, D (Y) 1, 21.

Таким образом, возможные значения иматематические ожидания X и Y одинаковы, а дисперсии различны, причем D (X) > D (Y). Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.

 

Свойства дисперсии

 

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (С) = 0.

Доказательство. По определению дисперсии,

D (C) =M {[ C-M (C)]²}.

Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

D (С)= М [(С—С)²] = М (0) = 0.

Итак,

D (С) = 0.

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (CX) =C ² D (X).

Доказательство. По определению дисперсии имеем

D (СХ) = М {[ СХ — М (СХ)]²}.

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

D (СХ) = М {[ СХ—СМ (X)]²} = М {С² [ X — М (X)]²} =

= С ² М {[ Х — М (X)]²} = C ² D (X).

Итак,

D (CX) = C ² D (X).

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при | С | > 1 величина СХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина X. Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М (СХ)больше, чем возможные значения X вокруг М (Х), т. е. D (CX) >D (X). Напротив, если0 < | С | < 1, то D (СХ)< D (X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D (X + Y) = D (X) + D (Y).

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D (X + Y)= М [(X + Y)²]— [ М (X + Y)]².

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

D (X + Y) = М [ X ² + 2 ХY + Y ²] — [ M (X) + М (Y)]²=

= М (X ²) + 2 М (X) • М (Y)+ М (Y ²) — М ²(X) —2 М (X) • М (Y) — M ²(Y) = { М (X ²) — [ М (X)]²} +{ M (Y ²) - [ M (Y)]²} =D (X) +D (Y).

Итак,

D (X + Y) = D (X) +D (Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

D (X+Y+Z) =D [ X+ (Y+Z)] =D (X) +D (Y+Z) =D (X) +D (Y) +D (Z).

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D (C+X) =D (X).

Доказательство. Величины С и X независимы, поэтому, по третьему свойству,

D (C+X) =D (C) +D (X).

 

В силу первого свойства D (С)= 0. Следовательно,

D (C+X) =D (X).

Свойство становится понятным, если учесть, что величины X и X+С отличаются лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X-Y) =D (X) +D (Y).

Доказательство. В силу третьего свойства

D (X-Y) =D (X) +D (-Y).

По второму свойству,

D (X—Y) = D (X) + (- 1²) D (Y),

или

D (X — Y) = D (X) +D (Y).