Виды дисперсий и правило их сложения. Свойства дисперсии.

Свойство 1.
Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Свойство 2.
Уменьшение (увеличение) всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии.

Свойство 3.
Уменьшение (увеличение) всех значений признака в k раз уменьшает (увеличивает) дисперсию в k² раз, а среднее квадратическое отклонение - в k раз.

 

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, приведенные в относительных величинах.
Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая.
Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане.
Чаще всего они выражаются в % и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности.
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Различают следующие относительные показатели вариации (V):

 

Коэффициент осцилляции ():

отражает относительную колеблемость

крайних значений признака вокруг средней

 

Линейный коэффициент вариации ():

характеризует долю усреднённого значения

абсолютных отклонений признака от средней величины

 

Коэффициент вариации ():

используется для оценки типичности

средних величин

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами.

Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии. Выделяют:

дисперсию общую

межгрупповую

внутригрупповую.

 

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

 

 

где хо – общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия () характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки.

Рассчитывается по формуле:

 

где - средняя по отдельной группе;

ni – число единиц в определенной группе.

 

Внутригрупповая дисперсия () отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки.

Рассчитывается по формуле:

 

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий ():

Указанные дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством: величина общей дисперсии равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

соотношение называют правилом сложения дисперсии. Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсии, появляющейся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

 

В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии - эмпирический коэффициент детерминации ():

показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации – это эмпирическое корреляционное отношение ():

характеризует влияние признака, положенного в основание группировки (группировочного), на вариацию результативного признака.
Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1.
Если = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный.
Если = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.
Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.