Дисперсия, её математические свойства и способы расчёта

 

Дисперсия наряду со средним квадратическим отклонением являются мерилом надёжности средней величины. Чем меньше дисперсия и среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую ею совокупность.

Дисперсия обладает рядом свойств (доказываемых в математической статистике), которые часто позволяют упростить расчёты. Эти свойства следующие:

1. Если из всех значений вариант отнять какое-либо постоянное число то дисперсия от этого не изменится.

 

2. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число то дисперсия уменьшится от этого в раз.

 

 

3. Средний квадрат отклонений от любой величины отличной от средней арифметической всегда больше дисперсии, причём

 

или

 

Используя свойства дисперсии, её можно вычислить упрощёнными способами без привлечения формулы, определяющей дисперсию.

Из последней формулы в случае, когда следует

 

 

т. е. дисперсия равна разности среднего квадрата признака минус квадрат среднего значения признака. В статистике величины и называют начальными моментами второго и первого порядка, соответственно.

Способ расчёта дисперсии по формуле

 

 

называется способом моментов.

В случае расчёта дисперсии интервального вариационного ряда при условии равных интервалов применяется модифицированный способ моментов, или способ отсчёта от условного нуля. Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала , получим

 

 

Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в

Анализе факторов

 

Исчисляя дисперсию изучаемого признака в пределах совокупности и, опираясь в расчётах на общую среднюю, мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений (вариант) признака.

Это можно сделать при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору. Причём можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности:

- общую (или генеральную) дисперсию;

- межгрупповую дисперсию;

- среднюю внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий (факторов) в данной совокупности, и исчисляется по формуле

 

где - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых средних около общей средней и вычисляется по формуле

 

 

где - численность отдельных групп.

Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную, не обусловленную признаком-фактором, вариацию в отдельных группах. Эта вариация возникает под влиянием других не учитываемых факторов и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Она определяется по формуле

 

,

 

где - дисперсия изучаемого признака по каждой отдельной группе.

В математической статистике доказывается правило сложения дисперсий, которое говорит, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповых дисперсий. Оно записывается в виде формулы

 

 

Это правило (закон) сложения дисперсий имеет большую практическую значимость, так как позволяет выявить зависимость вариации от определяющих её факторов при помощи соотношения межгрупповой и общей дисперсии

 

 

Это соотношение называется коэффициентом детерминации и определяет процент различий (отклонений) в совокупности, обусловленный признаком-фактором, выбранным для группировки в качестве основного.

Пример. При исследовании производительности труда однородной совокупности рабочих на предприятии была проведена группировка рабочих по размеру заработной платы. В результате статистической обработки данных и расчётов оказалось, что коэффициент детерминации Это означает, что различие в производительности труда отдельных рабочих лишь на 43 % обусловлены фактором заработной платы и, следовательно, на 57 % - остальными факторами (условиями).

В статистике наряду с дисперсией количественного признака определяется дисперсия альтернативного признака. Альтернативными являются признаки (в том числе качественные), которыми обладают одни единицы изучаемой совокупности и не обладают другие. Формула расчёта дисперсии альтернативного признака имеет вид

 

 

где доля вариантов, обладающих изучаемым признаком.