Свойства и методы расчёта средних величин

 

Наиболее часто используемая в экономико-статистической практике средняя арифметическая величина обладает рядом математических свойств, которые иногда упрощают её расчёт. Эти свойства следующие:

1. Если варианты уменьшить или увеличить на некоторое постоянное число, то

средняя арифметическая величина соответственно уменьшится или увеличится на это

число

 

 

2. Если варианты изменить в постоянное число раз то средняя тоже изменится во

столько же раз

 

3. Если частоты разделить или умножить на некоторое постоянное число, то средняя не изменится

 

 

4. Произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты

 

 

5. Алгебраическая сумма отклонения вариантов от средней величины равна нулю

 

 

Все перечисленные свойства следуют из определения средней арифметической взвешенной (см.раздел 4.2).

Иногда расчёт средней арифметической величины удобно упростить, используя её математические свойства. Для этого нужно из всех вариант вычесть произвольную постоянную величину, полученную разность разделить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю величину умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную. В результате формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид:

где .

 

Средняя величина из значений вариант называется моментом первого порядка, а способ вычисления средней – способом моментов.

При выборе и расчёте вида средней величины необходимо учитывать наличие и характер исходных данных. Следует придерживаться следующего алгоритма.

1) Написать определяющее для расчёта среднего показателя соотношение, которое представляет собой суть связи между показателями задачи и определяет методологию расчёта обобщенного показателя. Например, если требуется определить среднюю месячную заработную плату работников, то таким соотношением является

 

 

где – средняя заработная плата; – фонд заработной платы; численность работников.

2) Изучить исходные данные и установить наличие показателей в определяющем соотношении. В предложенном примере такими показателями являются и . Если какой-либо показатель отсутствует, то его необходимо определить по исходным данным, пользуясь определяющим соотношением. Например, при наличии данных о фондах заработной платы и средней заработной плате по группам работников, недостающие показатели находятся в виде

 

 

3) Подставить недостающие показатели в определяющее соотношение и установить вид средней. В нашем примере

 

 

т.е. в этом случае расчёт средней заработной платы можно выполнить по формуле средней гармонической взвешенной (см. раздел 4.2).

Соотношения для определения средних структурных величин, представленные в разделе 4.2, предназначены для расчётов средних величин дискретных рядов. Методы расчёта средних по данным интервальных рядов имеют специфику, связанную с тем, что исследователь имеет дело не с дискретными значениями, а с интервалами группировочного признака. В этих случаях определения степенных средних сохраняются с учётом, что вместо значений вариант в них подставляются серединные значения интервалов.

Для расчёта моды по данным интервального ряда используется следующая формула:

 

 

где - нижняя граница модального интервала;

- размер модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Для расчёта медианы в интервальном ряду используется следующая формула:

 

 

где - нижняя граница медианного интервала;

- размер медианного интервала;

- сумма накопленных частот до медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- полусумма частот ряда.

 

 

РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Ряды распределения

 

Результаты сводки и группировки данных статистического наблюдения оформляются в виде статистических рядов распределения и таблиц.

Статистические ряды распределения – это упорядоченное расположение единиц изучаемой совокупности или групп по группировочному признаку. Они характеризуют состав (структуру) изучаемого явления, позволяют судить об однородности совокупности, границах её изменения, закономерностях наблюдаемого объекта.

Ряды распределения, построенные по качественному признаку, называют атрибутивными. Например, распределение работников по занимаемой должности, профессии, образованию; распределение предприятий по форме собственности, виду основной деятельности и другим качественным признакам.

При группировке ряда по количественному признаку образуются вариационные ряды. Вариационные ряды по способу построения бывают дискретными (прерывными), построенными на прерывной вариации признака (число человек в семье, касс в магазине, комнат в квартире), и интервальными (непрерывными), базирующимися на непрерывно изменяющемся значении признака, имеющем любые (в том числе и дробные) количественные выражения (объём товарооборота, величина фонда оплаты труда, выработка рабочего). При построении интервальных рядов распределения возникают вопросы о числе групп, величине интервала, его границах.

Вариационные ряды состоят из двух элементов: варианты и частоты.

Варианта – это отдельное значение варьируещего признака, которое он принимает в ряду распределения.

Частотами называются численности отдельных вариант или численности единиц каждой группы вариационного ряда. Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу называются частостями. Сумма частот составляет объём ряда распределения.

Статистический ряд распределения по атрибутивному признаку представлен в табл.12.

 

Табл.12. Распределение продавцов магазина по категориям

Группа продавцов по категориям (атрибутивный признак)	Число продавцов, чел. (частота)	В % к итогу (частость)
Первая Вторая Третья

Итого: 200 100

 

Если группировку в виде ряда распределения продавцов по категориям составить за два периода по данному магазину, то можно выявить происходящие структурные изменения (в данном случае – качественные сдвиги) в составе категории работников.

Дискретные вариационные ряды распределения магазинов района по числу секций на две даты представлены в табл.13.

В приведенных в табл.13 рядах частоты выражены в процентах, что позволяет посредством их сравнения обнаружить процесс увеличения количества товарных секций в магазинах на начало 2003г. по сравнению с началом 2000г. Это во многом связано со складывающейся конъюнктурой рынка, вызвавшей расширение ассортимента товаров и приведшей к разукрупнению существующих и созданию новых товарных секций.

 

Табл.13. Распределение магазинов района по числу товарных секций

Число товарных секций	На 1 января 2000 г.	На 1 января 2003 г.
Число магазинов	В % к итогу	Число магазинов	В % к итогу

Итого: 60 100 75 100

 

В статистических вариационных рядах существует определённая связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частот вначале возрастает до определённой величины, а затем уменьшается.

Такие изменения называют закономерностями распределения. Для характеристики закономерностей распределения вариационных рядов в статистике часто используют известные в математике законы распределения, примерами которых могут служить:

- нормальное распределение

- распределение Пуассона

 

где - вероятность появления события с частотой - среднее число появления события в одинаковых независимых испытаниях; - дисперсия; - вес или частота значения признака х.

В реальных статистических исследованиях социально-экономических процессов и явлений чаще всего закон распределения варьирующего признака в вариационных рядах неизвестен. В таких случаях для характеристики рядов распределений рассчитывают начальные и центральные моменты и связанные с ними показатели.

Начальные моменты k-го порядка определяются по формулам

 

При имеем начальный момент - среднее значение признака; при имеем начальный момент второго порядка - средний квадрат значений признака и т.д.

Центральные моменты -го порядка определяют по формулам

 

При имеем центральный момент второго порядка - дисперсию варьирующего признака.

На практике чаще всего исчисляют следующие основные характеристики распределения:

- среднее значение варианты (математическое ожидание);

- дисперсия;

 

- коэффициент асимметрии;

 

- эксцесс и др.,

 

которые достаточно точно выявляют форму распределения и весовое содержание варьирующего признака в нём.

В математике доказывается теорема о том, что знание бесконечного числа моментов распределения эквивалентно полному знанию о распределении вариационного ряда.