Основные свойства средней арифметической величины

Средняя арифметическая величина обладает многими математическими свойствами, имеющими важное значение при ее расчёте. Знание этих свойств помогает контролировать правильность и точность расчёта средней варианты, способствует упрощению процесса расчёта среднего значения признака.

Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных вариант от среднего значения равна нулю. Так, если индивидуальные отклонения обозначить через ; …..; Сумма всех индивидуальных отклонений, например, в ранжированном ряду будет: Поскольку

Первое свойство теоретически доказывается и по отношению к средней арифметической взвешенной. В этом случае сумма взвешенных положительных отклонений от среднего значения признака равняется сумме взвешенных отрицательных отклонений, а общая сумма всех отклонений равна нулю, т.е. .

Первое свойство используется обычно для проверки правильности расчёта средней арифметической величины. В результате округления средней сумма отклонений не всегда равна нулю, но чем она ближе к нулю, тем средняя варианта рассчитана точнее.

Второе свойство. Величина средней не изменится, если частоты (частости) или веса при каждой варианте признака увеличить или уменьшить в одинаковое число раз.

Действительно, если то, например умножив все частоты на постоянную величину α, получим ту же величину средней:

.

Из второго свойства средней арифметической величины вытекают следующие важнейшие следствия:

· если частоты при всех вариантах равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней, т.е. при равнозначности частот в вариационном ряду можно вычислить вместо взвешенной величины простую.

· при расчёте средней арифметической величины в качестве частот можно использовать частости, т.е. их удельные веса (доли) в общем итоге. Замену абсолютных частот частостями можно рассматривать как умножение их на некоторый коэффициент.

Третье свойство. Если все индивидуальные варианты вариационного ряда увеличить или уменьшить на постоянное число, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число. Обычно в качестве постоянного числа выбирается варианта, расположенная в середине вариационного ряда, что позволяет значительно упростить нахождение средней. Расчёт средней арифметической величины с применением этого свойства принято называть методом моментов. Метод моментов можно записать в следующем виде:

Четвёртое свойство. Произведение средней величины на накопленную сумму частот равняется сумме произведения каждой варианты на ее частоту, т.е.

Это свойство вытекает из формулы средней арифметической взвешенной величины, т.е. если

Структурные средние

Иногда для получения обобщающей хар-ки статист. совок-сти по какому-л. признаку приходится польз-ся структурным средними. К ним относят моду и медиану.

Мода это варианта, наиболее часто встречающуяся в данной статист. совок-сти. В ранжированном ряду мода, не определяется, т.к. каждой варианте соотв-ет частота =1.

Мода в дискретном ряду соответствует варианте с наибольшей частотой, при этом случайная величина может иметь несколько мод. При наличии одной из них распределение статис. совок-сти называется одномодальным, при наличии двух мод – бимодальным, трех и более мод – мультимодальным. Наличие нескольких мод нередко означает объединение в одной совокупности разнокачественных статистических единиц.

Мода для интервального ряда с равными интервалами рассчитывается по формуле

где х_мо – нижняя граница модального интервала; i_мо – величина интервала;

f_мо – частота модального интервала; f_дмо – частота домодального интервала; f_змо – частота замодального интервала.

Модальная варианта при харак-ке статист. совок-сти может быть использована в тех случаях, когда расчёт средней величины затруднен либо невозможен, например, в рыночных условиях при изучении спроса и предложения, уровня цен и т.д.

Медиана – варианта, находящиеся в середине вариационного ряда. Медиана в ранжированном ряду находится следующим образом. Во-первых, рассчитывают номер медианой варианты:

,

где n_ме – номер медианой варианты; n – общее число вариант в ряду.

Во-вторых, в ранжированном ряду определяется значение медианой варианты: если общее число вариант нечетное, то медиана соответствует рассчитанному по формуле номеру.

Допустим, ранжированный ряд состоит из 99 единиц, распределенных по урожайности сахарной свеклы. Медианный номер варианты находим по формуле: .

Это означает, что под № 50 находится искомая медиана урожайности, которая равна, например, 500ц/га.

Если же общее число вариант четное, то медиана равна полумсуме двух смежных медианных вариант. Например, в ранжированном ряду имеется 100 статистических единиц, распределенных опять-таки по урожайности сахарной свеклы. Следовательно, в таком ряду имеется два медианных номера, что видно из следующего расчета по формуле:

Значит, в этом случае медианными считаются № 50 и 51, а медиану урожайности сахарной свеклы, например, можно рассчитать как следующую полусумму двух смежных урожайностей, т.е.

Для дискретного ряда распределения медиану рассчитывают по накопленным частотам: во-первых, находят полусумму накопленных частот; во-вторых, определяют соответствие этой полусуммы конкретной варианте, которая и будет медианой.

В интервальном вариационном ряду медиану рассчитывают по формуле

,

где М_е – медиана интервального ряда; х_ме – нижняя граница медианного интервала; i_ме – величина медианного интервала; Σf – сумма накопленных частот в интервальном ряду; f_н – накопленная частота домедианного интервала; f_ме – частота медианного интервала.

Применение медианы имеет специфический характер. Так, если вариационный ряд относительно небольшой, то на величину средней арифметической могут оказать влияние случайные колебания крайних вариант, что никак не скажется на размере медианы.